Varianta 66

Prof: RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Pentru ce valori x, y \(\in \)R numerele \({{z}_{1}}=\left( x+1 \right)+yi\)¸si  \({{z}_{2}}=\left( y-1 \right)+\left( x-4 \right)i\)sunt numere complexe conjugate?

 (5p) 2. Fie funcţiile f, g: R\(\to \)R, f(x) = 3x + 6 şi g(x) =\(\left( 2m-1 \right)x\) - 2. Să se determine m\(\in \)R, astfel încât g = f ^{– 1}.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia: log₂(x +1) - log₂(x +2) = 1

(5p) 4. Să se afle \(A_{n}^{2}\), dacă termenul al 5-lea în dezvoltarea \({{\left( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x} \right)}^{n}}\)nu depinde de x.

(5p) 5. Determinaţi un vector \(\overrightarrow{b}\) de lungime 30 coliniar cu vectorul  \(\overrightarrow{a}=2{{\sqrt{2}}^{{}}}\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\).

(5p) 6. Fie funcţia f:R\(\to \)R, f(x) = cos 2x. Calculaţi f(x) – f(x + \(\pi \)).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie \(J\in {{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right), J=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) şi \(G=\left\{ A\in {{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)/AJ=JA \right\}\)

(5p) a) Arătaţi că dacă \(A\in G\),atunci există \(a,b\in \mathbb{R}\) astfel încât \(A=\left( \begin{matrix} a & b \\ -b & a \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) b) Arătaţi că pentru orice \(A\in G\) există în mod unic\(a,b\in \mathbb{R}\)astfel încât \(A=a\cdot {{I}_{2}}+b\cdot J\)

(5p) c) Rezolvaţi în G ecuaţia \({{X}^{2}}+J={{O}_{2}}\)

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie \(x*y=xy-2x-2y+6\) şi \(x\circ y=xy-3(x+y)+12.\)

(5p) a) Să se verifice că \((x*2)-(3\circ x)=-1,\)\(\forall x\in R\).

(5p) b) Ştiind că \({{e}_{1}}\) este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „\(*\)” şi \({{e}_{2}}\)este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „\(\circ \)” să se calculeze \({{e}_{1}}*{{e}_{2}}+{{e}_{1}}\circ {{e}_{2}}\)

(5p) c)Se consideră funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)=ax+1\). Să se determine \(a\in R\) astfel încât \(f(x*y)=f(x)\circ f(y)\), \(\forall x,y\in R\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{\ln x}{x}\)

(5p) a) Arătaţi că f este strict crescătoare pe intervalul (0,e) şi strict descrescătoare pe intervalul \(\left( e,+\infty  \right)\)

(5p) b)  Stabiliţi ecuaţiile asimptotelor funcţiei date.

 (5p) c) Arătaţi că  \(0<f\left( x \right)\le \frac{1}{e},\forall x\in \left( e,+\infty  \right)\)                        

2. Considerăm funcţiile F, f:R\(\to \)R, F(x) = x.e^x şi f(x) = ( x + 1) e^x .

(5p) a) Verificaţi că F este o primitivă a lui f.

(5p) b) Determinaţi aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei F, axa Ox şi dreptele

x = 0,x =1

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{F\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{e}^{x}}+1}dx}\)