Prof: Badea Ion

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se arate că ${{\log }_{2}}\left( 5-\sqrt{3} \right)+{{\log }_{2}}\left( 5+\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}11=1$.

(5p) 2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=2x-1.$Calculaţi suma $S=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+...+f\left( 2012 \right).$

(5p) 3. Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ecuaţia ${{2}^{{{x}^{2}}+x+0,5}}-4\sqrt{2}=0$.

(5p) 4. Determinaţi valorile naturale ale lui x astfel încât $C_{10}^{x}\le C_{10}^{x-2}$.

(5p) 5. Dacă ${{\text{A}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\left( 1,-1 \right),{{\text{B}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\left( 3,1 \right)\text{ i O}\left( \text{0}\text{,0} \right)$sunt mijloacele laturilor BC, AC şi respectiv AB ale $\Delta \text{ABC}$, determinaţi coordonatele punctelor A, B, C.

(5p) 6. Calculaţi $\cos \alpha$ştiind că $\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\text{ i }\sin \alpha =\frac{12}{13}.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele $A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} x & -1 & 1 \\ 1 & x & -1 \\ -1 & 1 & x \\ \end{matrix} \right);x\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Determinaţi x astfel încât $A\left( x \right)$inversabilă;

(5p) b) Aflaţi ${{A}^{-1}}\left( 1 \right)$;

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia $A\left( 1 \right)\cdot \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$.

2. Fie inelul claselor de resturi modulo 6, $\left( {{\mathbb{Z}}_{6}},+,\cdot \right).$

(5p) a) Calculaţi suma elementelor neinversabile din ${{\mathbb{Z}}_{6}}$;

(5p) b) Determinaţi valorile lui $x\in {{\mathbb{Z}}_{6}}$astfel încât determinantul matricei $A=\left( \begin{matrix} x & \widehat{1} \\ \widehat{2} & \widehat{3} \\ \end{matrix} \right)$să fie element inversabil în ${{\mathbb{Z}}_{6}}$;

(5p) c) Rezolvaţi în ${{\mathbb{Z}}_{6}}\text{x }{{\mathbb{Z}}_{6}}$sistemul $\left\{ \begin{align} & \widehat{2}x+y=\widehat{4} \\ & \widehat{3}x+\widehat{2}y=\widehat{1} \\ \end{align} \right.$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)$.

(5p) a) Scrieţi ecuaţia asimptotei spre $-\infty$;

(5p) b) Aflaţi punctele de extrem ale funcţiei;

(5p) c) Demonstraţi că $7\le f\left( x \right)\le 3e,\text{ }\left( \forall  \right)x\in \left[ 0,2 \right]$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \sin x;\text{ }x<0 \\ & \frac{x}{x+2}\text{; }x\ge 0 \\ \end{align} \right.$.

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}$;

(5p) b) Aflaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei absciselor, a graficului funcţiei $g:\left[ -\pi ,0 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=f\left( x \right)$;

(5p) c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}$.