Varianta 92

Prof. Teler Marian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.  Determinaţi produsul primelor 5 zecimale ale numărului real \(\sqrt{50}\)

(5p) 2. Rezolvaţi ecuaţia: \({{2}^{3}}={{4}^{2x-1}}\)

(5p) 3. Calculaţi modulul numărului complex: \(z={{\left( \sqrt{2}-i \right)}^{6}}\)

(5p) 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: \({{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-{{\log }_{2}}\left( 2+x \right)=-1\)

(5p) 5. Să se calculeze lungimea înălţimii din A a triunghiului ABC, \(A(1,2),B(-1,3),C(0,4)\)

(5p) 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris într-un triunghi dreptunghic care are catetele de lungimi 5 şi 12.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & 2x+y+3z=0 \\ & 3x+2y+5z=0 \\ & x+3y+mz=0 \\ \end{align} \right.\), unde \(m\in R\)

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei sistemului.

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluţie unică.

(5p) c) În cazul \(m=4\), determinaţi soluţiile \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\) ale sistemului, cu toate componentele numere întregi,care verifică relaţia: \(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}\le 3\).

2. Pe R se dau legile de compoziţie \(x\bot y=x+y-3\) , \(x\circ y=xy-3x-3y+12\).

(5p) a) Rezolvaţi sistemul: \(\left\{ \begin{align} & x\bot y=7 \\ & x\circ y=7 \\ \end{align} \right.\) (5p) b) Calculaţi \(\left( {{e}_{1}}\bot {{e}_{2}} \right)\circ {{e}_{1}}\) , unde  \({{e}_{1}}\) şi \({{e}_{2}}\) sunt elementele neutre ale operațiilor ,, \(\perp\)‘‘, respectiv ,, \(\circ \)‘‘.

(5p) c) Determinaţi \(x,y\in Z\) astfel încât: \(x\circ x\circ y=11\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dau funcţiile \(f,g:R\to R\), \(f(x)={{x}^{2}}(a-x)+2014\), \(g(x)={{x}^{3}}(x-a)+2014\)  

(5p) a) Să se determine \(a\in R\) astfel încât tangentele la graficele celor două funcţii în punctul

\(A(a,f(a))\) să fie perpendiculare. 

(5p) b) Să se demonstreze că graficul funcţiei f are puncte de inflexiune pentru orice \(a\in R\)

(5p) c) Să se determine \(a\in R\) astfel încât graficul funcţiei g să nu admită puncte de inflexiune.

2. Se dă funcţia \(f:\left( 0,\infty \right)\to R,\) \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\)

(5p) a) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei f are un punct de inflexiune.

(5p) b) Calculaţi \(\int{f(x)dx}\) şi \(\int{f\left( \frac{1}{x} \right)dx}\)

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}\)