Varianta 94

Prof.  Tomiță Liliana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se scrie al 50-lea termen al progresiei aritmetice \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), dacă \({{a}_{1}}=3\) și \(r=-3\).

(5p) 2. Să se scrie termenul al optulea al dezvoltării \({{\left( 2x-y \right)}^{20}}\).

(5p) 3. Să se scrie în ordine crescătoare numerele \(\sqrt[3]{4};\text{ }\sqrt[4]{6};\text{ }\sqrt[12]{280}\).

(5p) 4. Calculați \(\sin {{105}^{\text{o}}}\).

(5p) 5. Se dau vectorii \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\) și \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\). Să se determine parametrul real m pentru care unghiul format de cei doi vectori este de \({{45}^{\text{o}}}\).

(5p) 6. Să se determine aria triunghiului \(ABC\), știind că \(a=3,\text{ }b=5,\text{ }c=6\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuații liniare \(\left\{ \begin{align} & mx+y+z=4 \\ & x+2my+z=4 \\ & x+y+mz=4 \\ \end{align} \right.\) , unde m este parametru real.

(5p) a) Arătați că \(\det A{{\vdots }_{2}},\left( \forall  \right)m\in \mathbb{Z}\), unde A este matricea coeficienților sistemului.

(5p) b) Rezolvați sistemul pentru \(m=1\).

(5p) c) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat.

2. Se consideră mulțimea \(G=\left( -2,\infty \right)\) și legea de compoziție \(''*''\) definită prin \(x*y=xy+2x+2y+2\).

(5p) a) Arătați că G este parte stabilă a lui \(\mathbb{R}\) în raport cu cu \(''*''\).

(5p) b) Arătați că \(\left( G,* \right)\) este grup abelian.

(5p) c) Demonstrați că grupurile \(\left( G,* \right)\) și \(\left( \mathbb{R},+ \right)\) sunt izomorfe.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\)

(5p) a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul \({{x}_{0}}=1\) .

(5p) b) Să se determine asimptotele la graficul funcției .

(5p) c) Să se aplice teorema lui Lagrange pe intervalul \(\left[ \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right]\) funcției \(g:\left( 0,1 \right)\to \mathbb{R},\text{ }\) \(g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{\ln x}\)  .

2. Se consideră șirul \({{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},\) cu termenul general \({{\mathcal{I}}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{x+4}}dx\)

(5p) a) Arătați că \(4{{\mathcal{I}}_{n}}+{{\mathcal{I}}_{n+1}}=\frac{1}{n+1}\) , oricare ar fi \(n\in {{N}^{*}}\) .

(5p) b) Calculați \({{\mathcal{I}}_{2}}\).

(5p) c) Demonstrați că șirul \({{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) este convergent și apoi calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\mathcal{I}}_{n}}\) .