Întrebare minim

Buna ziua
\[Fie\ a,b,c>0,a+b+c=3.\\ Valoarea\ minima\ a\ expresiei:\\ E(a,b,c)=(1+a^2)(a+b+2)+(1+b^2)(a+c+2)\\ +(1+c^2)(b+c+2)\ este:\]
a)10;b)3;c)30;d)42;e)24
multumesc
Intre timp am rezolvat problema rezultatul este a=b=c=1.Scuze de deranj.

Probabil asta-i raspunsul: varianta e). Dar cum ati ajuns aici?
Este interesant pentru ca expresia nu este simetrica in cele trei variabile.

Buna ziua
Pai am pornit de la premiza ca toate cele trei numere sunt numere intregi.
Este drept ca m-am orientat stiind rezultatul care fiind un numar intreg,toate componentele din expresie sunt tot numere intregi.
Daca unul din numere a,b sau c ar fi fost fractionare,atunci cu siguranta ca rezultatul ar fi fost tot fractionar.
Ori singura alternativa cu numere intregi ca a+b+c sa fie trei este a=b=c=1.
Nu cred ca exista o alta alternativa cu cel putin unul din numere a,b sau c fractionare.
Nu stiu daca demonstratia mea este cea mai buna probabil ca exista si alta demonstratie.

In mod natural se verifica a=b=c=1. Se obtine E(a,b,c)=24.
Apoi, deoarece a,b,c>0, fiecare din cei trei termeni ai sumei este strict mai mare decat 2, prin urmare suma E(a,b,c)>6. In acest fel, varianta b) cade. Apoi, doearece suma a trei numere strict poztive este 3, macar unul dintre ei este mai mare decat 1. In aces caz, E(a,b,c)>10 (verificati!), prin urmare cade si varianta a). Logic, raspunsul devine e).
Observatie. Premisa de la care ati plecat este gresita.

Buna seara
Corect,dar daca rationamentul meu este gresit,atunci exista un contraexemplu care sa combata teoria mea,dar eu nu gasesc acest contraexemplu.
Va multumesc pentru rezolvarea facuta si o voi insusi.
Cu multumiri