Întrebare geometrie cub

Se considera cubul ABCDA'B'C'D' cu AB=a si M un punct in spatiu. Aratati ca MA^2 +MA'^2+MB^2+ MB'^2+MC^2+MC'^2+MD^2+MD'^2=20a^2 daca si numai daca OM=a radical din 2.

Multumesc.

Buna seara,

Nu este cumva \(22a^2\), in loc de \(20a^2\)?

Nu,este 20a^2.

Fie P si Q centrele fetelor ABCD si A'B'C'D'.

Folositi teorema medianei, pentru medianele MP, MQ si MO.

(MP - triunghiurile MAC si MBD,
MQ - triunghiurile MA'C' si MB'D'
MO - triunghiul MPQ).

Parca totusi e \(22a^2\) .

Domnule profesor Olah, în primul rând nu s-a specificat în enunţ nimic despre punctul O. Dacă presupunem că este intersecţia diagonalelor cubului, atunci folosind sugestia dumneavoastră în triunghiurile MBD', MB'D, MAC' şi MA'C rezultă că este corect 20a². (adunând cele patru egalităţi obţinem 8MO²=MA² +MA'²+MB²+ MB'²+MC²+MC'²+MD²+MD'² - 4a²)

Am presupus ca \(O\) este intersectia diagonalelor cubului.

Daca iau triunghiurile \(MBD', MB'D, MAC'\) si \(MA'C\), imi da

\(8MO^{2}=\)

\(MB^{2}+MD'^{2}+MB'^{2}+MD^{2}+MA^{2}+MC'^{2}+MA'^{2}+MC^{2}-6a^{2}\).

(Am scris \(MO^{2}=\frac{2\left ( MB^{2} +MD'^{2}\right )-3a^{2}}{4}\) si analoagele, si le-am adunat).

Nu ar strica, intr-o tura viitoare, ca propunatorul sa specifice asemenea lucruri (cine este \(O\), etc).