Întrebare Probleme nr prime clasa 6

Va rog daca aveti sugestii pt urmatoarele probleme:

1. Aflati a si b astfel incat a^b+b^a sa fie prim.

2. Aflati n astfel incat 10^n+1 sa fie prim.

Va multumesc mult!

2.Dacă n este impar atunci \({10^n} + 1\) se divide cu 10+1=11. Dacă n este par atunci n=0 sau este de forma \({2^k} \cdot m\) unde m este impar, \(m \ge 1\) . Pentru m>1 numărul \(10^{2^{k}m}+1\) se divide cu \(10^{2^{k}}+1\) și deci este compus. În concluzie \({10^n} + 1\) este prim dacă n=0 sau este de forma \({2^k}\) cu k=0,1,2,...

1.Notăm \((a,b)=d\) adică \(a=dm, b=dn\) și înlocuind, printr-un raționament analog ca la punctul 2, deducem că d=1 (a și b sunt prime între ele).

Observație:Am obținut condiții necesare ca numerele respective să fie prime, dar nu rezultă că toate numerele de forma \(10^{2^{k}}+1\) sunt prime sau dacă \((a,b)=1\) atunci toate numerele \(a^{b}+b^{a}\) sunt prime !