Întrebare Algebra

Mulțumesc pt. tot.
Pt.ex.: a^3=2, sa arătam ca nu exista a€Q
Stiu ca e metoda reduc.prin absurd,dar nu stiu s-o aplic.

Sper ca nu deranjez prea tare...

Sa vedem: sa presupunem, ca (totusi) exista un numar rational \(a= \frac{p}{q}\) , ireductibil, pentru care avem \(a^{3}=2\Leftrightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^{3}=2\).
Atunci avem \(p^{3}=2q^{3}\), de unde rezulta ca \(p^{3}\) este multiplu de \(2\) (adica par)... Ce putem spune despre \(p\), atunci? Ca \(p\) este par.

Daca \(p\) este multiplu de \(2\) (adica par), atunci \(p\) are forma \(p=2k\).

Putem scrie: \(p^{3}=2q^{3}\Leftrightarrow \left ( 2k \right )^{3}=2q^{3}\Leftrightarrow 8k^{3}=2q^{3}\Leftrightarrow 4k^{3}=q^{3}\), de unde se vede ca \(q^{3}\) este par deci si \(q\) este par.

Dar atunci fractia \(\frac{p}{q}\) poate fi simplificata cu \(2\) (pentru ca \(p\) si \(q\) sunt numere pare), deci nu mai e ireductibila, asa cum am presupus la inceput. Inseamna ca \(a\) nu poate fi scris sub forma \(\frac{p}{q}\) ireductibila astfel, incat \(a^{3}=2\), deci nu exista \(a\in \mathbb{Q}\) astfel incat \(a^{3}=2\), ce trebuia sa demonstram.

Cam asa ar fi demonstratia prin reducere la absurd.

Era tarziu aseara, cand am raspuns. Nu am observat ca ati postat intrebarea la locul nepotrivit. Tura viitoare postati, va rog, in "Matematica Liceu". Rog pe domnul Administrator sa mute topicul.