Întrebare parte stabila

Buna ziua
Pentru ce valoare a parametrului real a multimea G=(1,2) este parte stabila in raport cu operatia :
$$x*y=\dfrac{3xy-4x-4y+a}{2xy-3x-3y+5}\\rezultate\ posibile:\\ a)1;b)2;c)0;d)6;e)3$$
Parerea mea este ca trebuie sa incadram expresia x*y intre cele doua limite 1 si 2 dupa care sa rezolvam.
multumesc

Buna seara,

$2xy-3x-3y+5=xy-2x-2y+4+xy-x-y+1=$
$=\left ( 2-x \right )\left ( 2-y \right )+\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )>0$.

$x*y\in \left ( 1,2 \right )\Leftrightarrow 1<\frac{3xy-4x-4y+a}{2xy-3x-3y+5}<2$.

Pentru ca numitorul expresiei este pozitiv, se pot inmulti inecuatiile cu el (fara sa se schimbe sensul):
$2xy-3x-3y+5<3xy-4x-4y+a<4xy-6x-6y+10$.

Pe de o parte

$3xy-4x-4y+a>2xy-3x-3y+5$
$\Leftrightarrow xy-x-y+a-5>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )$, adica
$\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )+a-6>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )$.

Pe de alta parte (in mod similar) se obtine ca $\left ( 2-x \right )\left ( 2-y \right )+6-a>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )$.

Din cele doua relatii (si, uitandu-ne eventual si la variante de raspuns ), putem scrie, deci, ca $a = 6$.

Raspuns corect $d)$.

Buna seara
Am inteles multumesc