Întrebare parte stabila

Buna ziua
Pentru ce valoare a parametrului real a multimea G=(1,2) este parte stabila in raport cu operatia :
\[x*y=\dfrac{3xy-4x-4y+a}{2xy-3x-3y+5}\\rezultate\ posibile:\\ a)1;b)2;c)0;d)6;e)3\]
Parerea mea este ca trebuie sa incadram expresia x*y intre cele doua limite 1 si 2 dupa care sa rezolvam.
multumesc

Buna seara,

\(2xy-3x-3y+5=xy-2x-2y+4+xy-x-y+1=\)
\(=\left ( 2-x \right )\left ( 2-y \right )+\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )>0\).

\(x*y\in \left ( 1,2 \right )\Leftrightarrow 1<\frac{3xy-4x-4y+a}{2xy-3x-3y+5}<2\).

Pentru ca numitorul expresiei este pozitiv, se pot inmulti inecuatiile cu el (fara sa se schimbe sensul):
\(2xy-3x-3y+5<3xy-4x-4y+a<4xy-6x-6y+10\).

Pe de o parte

\(3xy-4x-4y+a>2xy-3x-3y+5\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+a-5>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )\), adica
\(\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )+a-6>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )\).

Pe de alta parte (in mod similar) se obtine ca \(\left ( 2-x \right )\left ( 2-y \right )+6-a>0,\: \forall x\in \left ( 1,2 \right )\).

Din cele doua relatii (si, uitandu-ne eventual si la variante de raspuns ), putem scrie, deci, ca \(a = 6\).

Raspuns corect \(d)\).

Buna seara
Am inteles multumesc