Întrebare parte stabila

Buna ziua
\[Fie\ \alpha\in R\ si\ M=\left\{\begin{pmatrix} 1&\lambda&a\lambda^2+2\lambda\\ 0&1&4\lambda\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}/\lambda \in R\right\}\]
Sa se determine a astfel incat M sa fie parte stabila a lui M3(R)in raport cu inmultirea matricelor.
Un rezultat indicat posibil din:
a)1;b)0;c)3;d)4;e)2
multumesc

Buna ziua,

Stiti ce inseamna "parte stabila" ?
Daca da, atunci inmultiti doua matrice din mutimea \(M\), si vedeti cat trebuie sa fie \(a\), ca rezultatul inmultirii sa fie tot din multimea \(M\).

Rezultatul corect este \(a=2\), adica varianta de raspuns \(e)\).

Buna ziua
multumesc pentru atentie.
Eu stiu desigur ce inseamna parte stabila ex.multimea 2Z a numerelor intregi pare este o parte stabila a lui Z in raport cu operatia de adunare a numerelor intregi pt.ca suma a doua numere pare este tot un numar par.
Dar in cazul nostru daca inmultim matricea din ipoteza cu ea insasi obtinem o matrice de forma:
\[\begin{pmatrix} 1&2\lambda&\lambda^2(4+2a)+4\lambda\\ 0&1&8\lambda\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\]
De aici nu vad legatura cu a=2?
Chiar daca am lua lambda1 si lambda2 nu vad cum rezulta a=2.
Imi puteti da o sugestie?
multumesc

Sa vedem, atunci:

Fie \(M_{1},M_{2}\in M\). Ar trebui sa gasim acel \(a\: (a\in \mathbb{R})\) , ca si \(M_{1}\cdot M_{2}\in M\).

Fie \(M_{1}=\begin{pmatrix} 1 & \lambda _{1} &a\lambda_{1}^{2}+2\lambda _{1} \\ 0& 1 &4\lambda _{1} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) si \(M_{2}=\begin{pmatrix} 1 & \lambda _{2} &a\lambda_{2}^{2}+2\lambda _{2} \\ 0& 1 &4\lambda _{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(\lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\).

Atunci \(M_{1}\cdot M_{2}=\begin{pmatrix} 1 &\lambda _{1}+\lambda _{2} &x+2\left ( \lambda _{1}+\lambda_{2}\right ) \\ 0 & 1 &4\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right ) \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}\),

unde \(x=a\lambda_{1}^{2}+a\lambda _{2}^{2}+4\lambda _{1}\lambda _{2}\).

Ca \(M_{1}\cdot M_{2}\in M\), trebuie sa avem \(x=a\lambda_{1}^{2}+a\lambda _{2}^{2}+4\lambda _{1}\lambda _{2}\) = \(?\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )^{2}\).


Se vede ca se potriveste (numai) \(a=2\), adica:

\(x=2\lambda _{1}^{2}+4\lambda _{1}\lambda _{2}+2\lambda _{2}^{2}=2\cdot \left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )^{2}\).