Întrebare Lagrange

Buna seara,

Va rog sa ma ajutati la aceste exercitii:

Sa se demonstreze inegalitatea:

\[(b-a)tga < ln \frac{cosa}{cosb} < (b-a)tgb\]

si

Sa se rezolve ecuatia:

\[3^x+5^x=2^x+6^x\]




Multumesc.

Buna ziua
Cu referire la ecuatia exponentiala:
se observa ca o solutie este x=1.
Sa aratam ca aceasta solutie este unica.
Scriem ca:
\[\left(\dfrac{3}{6}\right)^x + \left(\dfrac{5}{6}\right)^x-\left(\dfrac{2}{6}\right)^x=1\\ Fie\ f:R\rightarrow R,f(x)=\left(\dfrac{3}{6} \right)^x +\left(\dfrac{5}{6} \right )^x- \left(\dfrac{2}{6} \right )^x\]
Avand in vedere monotonia functiei exponentiale rezulta ca f este strict descrescatoare pe R deci este injectiva.
Din egalitatea f(x)=1=f(1) si injectivitatea pentru f rezulta ca x=1 este solutie unica.

Buna ziua,

Aplicati Teorema lui Lagrange functiei \(f\left ( x \right )=ln\left (cosx \right )\) pe intervalul \([a,b]\).

Observatie: despre \(a\) si \(b\) ar trebui sa stim ma multe, de exemplu \(a<b\) si (de ce nu ), ar putea fi \(0<a<b<\frac{\pi }{2}\). Presupun ca si asta e inclus in enuntul problemei.

@ Delia, va multumesc. Eu vad ca si 0 ar putea fi solutie.

@ gordianknot,

Intr-adevar, asa am incercat.

f(x) fiind continua si derivabila -> exista c in intervalul (a, b) astfel incat [f(b) - f(a)]/(b - a) = f'(c). (1)

derivata lui f e -sinx/cosx, deci f'(c) = -sinc/cosc. (2)

din 1 si 2 -> (lncosb-lncosa)/(b-a) = -sinc/cosc.

De aici m-am impotmolit.

Asa.

Sau \(\frac{ln\left ( cosa \right )-ln\left ( cosb \right )}{a-b}=-\frac{sinc}{cosc}\) \(\Leftrightarrow ln\frac{cosa}{cosb}=\left ( b-a \right )tgc\).

Cum \(a<c<b\) si functia tangenta e crescatoare pe \(\left ( a,b \right )\), avem \(tga<tgc<tgb\) \(\Rightarrow \left ( b-a \right )tga<\left ( b-a\right )tgc<\left ( b-a \right )tgb\), deci

\(\left ( b-a \right )tga<ln\frac{cosa}{cosb}<\left ( b-a \right )tgb\), in conditiile problemei.

Va multumesc mult, am inteles!

O zi placuta!