Întrebare functie periodica

Buna seara
Se considera functia:
\[f:R\rightarrow R cu\ proprietatea\ ca:\\ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2}f(x),\forall X\in R\]
Sa se demonstreze ca aceasta functie este periodica si sa i se determine perioada T.
Raspuns posibil pentru T:
a)3;b)4;c)5;d)2;e)1
multumesc

Buna ziua,

\(f\left ( x+1 \right )+f\left ( x-1 \right )=\sqrt{2}f\left ( x \right )\)

\(x\rightarrow x+1:\)
\(f\left ( x+2 \right )+f\left ( x \right )=\sqrt{2}f\left ( x+1 \right )=\sqrt{2}\left ( \sqrt{2}f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right ) \right )=\)
\(=2f\left ( x \right )-\sqrt{2}f\left ( x-1 \right )\), deci \(f\left ( x+2 \right )=f\left ( x \right )-\sqrt{2}f\left ( x-1 \right )\).

\(x\rightarrow x+1:\)
\(f\left ( x+3 \right )=f\left ( x+1 \right )-\sqrt{2}f\left ( x \right )=\sqrt{2}f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right )-\sqrt{2}f\left ( x \right )=\)
\(=-f\left ( x-1 \right )\), deci \(f\left ( x+3 \right )=-f\left ( x-1 \right )\).

\(x\rightarrow x+1:\) \(f\left ( x+4 \right )=-f\left ( x \right )\).

Daca punem \(x\rightarrow x+4\), avem \(f\left ( x+8 \right )=-f\left ( x+4 \right )=-\left [ -f\left ( x \right ) \right ]=f\left ( x \right )\).
Cum \(f\left ( x+8 \right )=f\left ( x \right )\), functia \(f\) este periodica si perioada este \(T=8\).

Nu se potriveste nicio varianta de raspuns.

Observatie: Pe parcurs am folosit ca \(f\left ( x+1 \right )=\sqrt{2}f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right )\), ce rezulta din relatia data in enunt.

Buna ziua
Fata de demonstratia facuta de dl.profesor rezulta intr-adevar ca T=8.
Probabil ca este o eroare in cele 4 raspunsuri oferite.
Multumesc.