Întrebare functie periodica

Buna ziua
Sa se demostreze ca functia:
\[f:N\rightarrow R\\ f(x)=\left\{\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\right\}\]

este periodica si sa i se calculeze perioada.
multumesc
Am facut corectura asupra domeniului de definitie si asupra functiei.

Ar fi bine sa precizati si domeniul de definitie al functiei.

Sa vedem:

Ati schimbat si legea de corespondenta, era \(f\left ( x \right )=\left \{ \frac{x^{2}}{3} \right \}\).

\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) este periodica, cu perioada \(T\) : \(f\left ( x+T \right )=f\left ( x \right )\), \(\forall x\in \mathbb{R}\).

Folositi relatia adevarata pentru orice \(x\in \mathbb{R}\): \(\left \{ x+n \right \}=\left \{ x \right \},\: \forall n\in \mathbb{N}\).

Cautati acel \(T\), pentru care

\(\left \{ \frac{\left ( x+T \right )^{3}}{3} \right \}=\left \{ \frac{x^{3}}{3} \right \}\)\(\Leftrightarrow \left \{ \frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}T+3xT^{2}+T^{3}}{3} \right \}=\left \{ \frac{x^{3}}{3} \right \}\) , deci acel \(T\) (natural si cel mai mic cu aceasta proprietate), pentru care \(\frac{3x^{2}T+3xT^{2}+T^{3}}{{3}}\in \mathbb{N}\), \(\forall x\in \mathbb{N}\).

Cat este valoarea lui \(T\)?

Buna ziua
Va trebui sa avem:
\[\dfrac{3x^2T+3xT^2+T^3}{3}un\ numar\ intreg.\\ Aceasta\ se\ realizeaza\ pentru\ 3\vdots(3x^2T+3xT+T^3)\ sau\\ 3\vdots T(3x^2+3xT+T^2)deci\ fie\ 3\ \vdots T\ \\fie\ 3\vdots (3x^2+3xT+T^2.)\\ Aceasta\ inseamna\ ca T^2+3xT+T^2sa\ fe\ compatibila\\ cu\ T\in N\ dar\ discriminantul\ este\ 9x^2-12x^2<0.\\ Ramane\ singura \ solutie \ valabila\ T=0.\]

Daca ati vrut sa scrieti (la inceput) ca \(\left ( 3x^{2}T+3xT^{2}+T^{3} \right )\vdots 3\), e in regula (adica numaratorul se imparte la numitor, nu invers). Ce scrieti in ultimele trei randuri, nu are sens.

Vedeti ca \(\left (3x^{2}T \right )\vdots 3\) si \(\left (3xT^{2} \right )\vdots 3\), pentru orice \(x,T\in \mathbb{N}\). Ramane ca \(T^{3}\) sa fie divizibil cu \(3\). Cel mai mic \(T\) cu aceasta proprietate este \(T=3\).
Perioada (principala) a functiei este \(T=3\).

Buna seara
Am facut o confuzie de simboluri-scuze.
Eu de fapt am vrut sa scriu:
\[3|(3x^2T+3xT+T^3)\]
Am inteles rezolvarea pentru care va multumesc