Întrebare Functie

Buna seara,

Va rog sa ma ajutati la acest exercitiu.

Fie functia f: R->R , $$f(x) = \sqrt{x^2+2x+4}-2x$$

a) Aratati ca f e strict descrescatoare pe R.
b)Aratati ca $$f(e^x)<f(x+1)$$

La a) derivata functiei mi-a dat $$\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+4}}-2$$ , de aici nu stiu cum sa demonstrez ca e mai mica decat 0.

Multumesc.

Buna seara,

O idee ar fi asa:

$a)$. Rezolvati ecuatia $f^{'}\left ( x \right )=0$ pe multimea numerelor reale.
$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+4}}-2=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+2x+4}=x+1\Leftrightarrow$, adica $3x^{2}+6x+15=0$. Aceasta ecuatie nu are rezolvari in multimea numerelor reale, si cum $f^{'}\left ( x \right )$ este functie continua pe $\mathbb{R}$, rezulta ca $f^{'}\left ( x \right )$ are semn constant pe $\mathbb{R}$.
Cum $f^{'}\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$, rezulta ca $f^{'}\left ( x \right )<0,\: \forall x\in \mathbb{R}$, adica $f$ e strict descrescatoare pe $\mathbb{R}$.

$b)$. Demonstrati inegalitatea $e^{x}\geq x+1,\: \forall x\in \mathbb{R}$ (folosind, eventual, derivatele - demonstrati ca $e^{x}-x-1\geq 0$, adica functia $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f\left ( x \right )=e^{x}-x-1$ are minimul global $0$). In subpunctul $a)$. s-a demonstrat ca $f$ este descrescatoare pe $\mathbb{R}$, din aceste doua informatii rezulta cerinta.

Multumesc frumos!