Întrebare Functie

Buna seara,

Va rog sa ma ajutati la acest exercitiu.

Fie functia f: R->R , \[f(x) = \sqrt{x^2+2x+4}-2x\]

a) Aratati ca f e strict descrescatoare pe R.
b)Aratati ca \[f(e^x)<f(x+1)\]

La a) derivata functiei mi-a dat \[\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+4}}-2\], de aici nu stiu cum sa demonstrez ca e mai mica decat 0.

Multumesc.

Buna seara,

O idee ar fi asa:

\(a)\). Rezolvati ecuatia \(f^{'}\left ( x \right )=0\) pe multimea numerelor reale.
\(\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+4}}-2=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+2x+4}=x+1\Leftrightarrow\), adica \(3x^{2}+6x+15=0\). Aceasta ecuatie nu are rezolvari in multimea numerelor reale, si cum \(f^{'}\left ( x \right )\) este functie continua pe \(\mathbb{R}\), rezulta ca \(f^{'}\left ( x \right )\) are semn constant pe \(\mathbb{R}\).
Cum \(f^{'}\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0\), rezulta ca \(f^{'}\left ( x \right )<0,\: \forall x\in \mathbb{R}\), adica \(f\) e strict descrescatoare pe \(\mathbb{R}\).

\(b)\). Demonstrati inegalitatea \(e^{x}\geq x+1,\: \forall x\in \mathbb{R}\) (folosind, eventual, derivatele - demonstrati ca \(e^{x}-x-1\geq 0\), adica functia \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), \(f\left ( x \right )=e^{x}-x-1\) are minimul global \(0\)). In subpunctul \(a)\). s-a demonstrat ca \(f\) este descrescatoare pe \( \mathbb{R}\), din aceste doua informatii rezulta cerinta.

Multumesc frumos!