Întrebare Determinant caracteristic

"Numim determinant caracteristic, un determinant obtinut prin
bordarea lui ∆ cu coloana termenilor liberi ¸si cu una dintre
liniile ramase." Ce inseamna
bordarea lui ∆ cu coloana termenilor liberi ¸si cu una dintre
liniile ramase?

UN EXEMPLU CONCRET!

Consideram sistemul:
\[\begin{cases} 2x-y+z+2t&=1\\ x+y+2z+t&=2\\ 3x-2y+z+3t&=1\end{cases}\ \ \ \]
d=\(\begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&1\\ \end{vmatrix} =3\) diferit de 0
Căutăm un minor de ordinul 3 prin bordarea lui d
\[\begin{vmatrix} 2&-1&1\\ 1&1&2\\ 3&-2&1\\ \end{vmatrix} =0\]
\[\begin{vmatrix} 2&-1&2\\ 1&1&1\\ 3&-2&3\\ \end{vmatrix} =0\]
Doeoarece toți minorii de ordinul 3 obținiți prin bordarea lui d, au fost nuli, rangA=2<nr. necunoscute.

dc (determinant caracteristic)=\(\begin{vmatrix} 2&-1&1\\ 1&1&2\\ 3&-2&1\\ \end{vmatrix} =0\)
OBS.: ultima coloană reprezintă coloana termenilor liberi .

deoarece minorul caracteristic este nul sistemul este compatibil și nedeterminat (rangA<nr. necunoscute), x,y mecunoscute principale și z,t necunoscute secundare.
Notăm \[z=\alpha ,\,t=\beta\]și din primele două ecuații ale sistemului obținem \[x=1-\alpha -\beta ,\,y=1-\alpha\]