Întrebare Integrala de calculat

Buna ziua
\[Fie\ f:R\rightarrow R,f\ continua,astfel\ incat\\ f(a-x)+f(a+x)=2b,\ \forall x\in R\ (cu\ a,b\ numere\ reale\ date.)\\ Sa\ se\ calculeze:\int_0^{2a}f(t)dt.\\ unul\ din\ rezultate:\\ a)2a;b)2b;c)2ab;d)0;e)1\ multumesc\]

Buna ziua,

Notam \(I=\int _{0}^{2a}f\left ( t \right )dt\).

\(t=a-x\Rightarrow dt=-dx\), capetele: \(t=0\Rightarrow x=a\), \(t=2a\Rightarrow x=-a\). Se poate scrie:

\(I=-\int_{a}^{-a}f\left ( a-x \right )dx=\int_{-a}^{a}f\left ( a-x \right )dx\) \((1)\).

Daca \(t=a+x\Rightarrow dt=dx\), capetele: \(t=0\Rightarrow x=-a\), \(t=2a\Rightarrow x=a\). Se poate scrie:

\(I=\int_{-a}^{a}f\left ( a+x \right )dx\) \((2)\).

Adunand relatiile \((1)\). si \((2)\). avem

\(2I=\int_{-a}^{a}\left [ f\left ( a-x \right )+f\left ( a+x \right ) \right ]dx=\int_{-a}^{a}\left (2b \right )dx=4ab\), deci \(I=2ab\).

Varianta corecta de raspuns: \(c)\).

Buna ziua
Am inteles rezolvarea multumesc foarte mult.