Întrebare izomorfism

Buna ziua
\[Se\ considera\ G=(-1,1)si,notand\ pentru\\ \forall x,y\in G,x*y=\dfrac{x+y}{1+xy},presupunem\ cunoscut\\ faptul\ ca\ (G,*)este\ un\ grup.De\ asemenea\\ pentru \forall n\in N,n\geq2,notam\ x_n=\dfrac{1}{2n^2-1}.\\
\[Presupunand\ ca\ f:G\rightarrow (0,\infty),f(x)=\\ =\dfrac{1-x}{1+x}este\ un\ izomorfism\ intre\ grupurile\\ (G,*)si\ (R_+^*,.)precizati\ care\ dintre\ urmatoarele\\ afirmatii\ este\ adevarata?\]
\[a)Elementul\ e=\dfrac{1}{7}*\dfrac{1}{17}*\dots*\dfrac{1}{2n^2-1}\\ este\ egal\ cu\ \dfrac{n-1}{3n+1},\forall n\in N,n\geq2;\\ b)Elementul\ neutru\ al\ grupului\ G\ este\ e=\dfrac{1}{2};\\ c)Elementul\ e=\dfrac{1}{7}*\dfrac{1}{17}*\dots*\dfrac{1}{2n^2-1}\\ este\ egal\ cu\ 0,\forall n\in N,n\geq2;\\ d)Elementul\ neutru\ al\ grupului\ G \ este\ e=-\dfrac{1}{2}\\ e)f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot f(x_n)=\dfrac{2n}{n+1},\forall n\in N,n\geq2\]

la INDICATII DE SOLUTIONARE spune asa:
\[Se\ verifica\ faptul\ ca:\\ f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot\dots\cdot f(x_n)=\dfrac{n+1}{2n}.De\ asemenea\\ f\ fiind\ izomorfism\ rezulta\ ca:\\ f\left(\dfrac{1}{7}*\dfrac{1}{17}*\dots*\dfrac{1}{2n^2-1}\right)=f(x_2)\cdot f(x_3)\dots\cdot f(x_n) \\ Prin\ urmare:\\ \dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{1}{17}\dots*\dfrac{1}{2n^2-1}=f^{-1}\left(\dfrac{n+1}{2n}\right)=\\ =\dfrac{n-1}{3n+1}\]
Sunt convins ca acele indicatii de solutionare nu au valoare semnificativa fata de rezolvarea dvs.dar eu nu le-am inteles.
Ma puteti ajuta de fapt cu o rezolvare?
multumesc mult

Scrieti enuntul complet, va rog.

Scuze!
In completare se mai scrie in textul problemei asa:
\[b)Elementul\ neutru\ al\ grupului\ G\ este\ e=\dfrac{1}{2}\\ c)Elementul E=\dfrac{1}{7}*\dfrac{1}{17}*\dots*\dfrac{1}{2n^2-1}\ este\ egal\ cu\ zero\\,\forall n\in N,n\geq2\\ d)Elementul\ neutru\ al\ grupului\ G\ este\ e=-\dfrac{1}{2}\\ e)f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot\dots.f(x_n)=\dfrac{2n}{n+1},\forall n\in N,n\geq2.\]
In rest am mai verificat odata si asa este cum am scris,cred ca nu am gresit pe undeva.

Nu ati precizat cine este \(f\) (care, presupun, este izomorfism intre \(\left ( G,* \right )\) si \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*},\cdot \right )\) ).

Buna ziua
Abia acum am inteles unde trebuia sa corectez(adaug)in text.
Am facut adaugirile ,am corectat si acum sper ca este bine.
Acestea le-am facut chiar in textul initial prin EDIT.
Autorul calculeaza o expresie dar cum a obtinut acel rezultat?
Dar mai bine va las pe Dvs sa vedeti cum se rezolva ca mai mult va derutez.
Mii de scuze!

Cum \(f\) este izomorfism intre \(\left ( G,* \right )\) si \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*},\cdot \right )\), se poate scrie

\(f\left ( x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )=f\left ( x_{2} \right )\cdot f\left ( x_{3} \right )\cdot ...\cdot f\left ( x_{n} \right )\), \(x_{2},x_{3},...,x_{n}\in G\).

\(f\left ( x_{n} \right )=\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}=\frac{1-\frac{1}{2n^{2}-1}}{1+\frac{1}{2n^{2}-1}}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )}{n^{2}}\), atunci:

\(f\left ( x_{2} \right )\cdot f\left ( x_{3} \right )\cdot ...\cdot f\left ( x_{n} \right )=\frac{\left ( 2-1 \right )\cdot \left ( 2+1 \right )}{2^{2}}\cdot \frac{\left ( 3-1 \right )\left ( 3+1 \right )}{3^{2}}\cdot ...\cdot \frac{\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )}{n^{2}}=\)
\(=\frac{1\cdot 3}{2^{2}}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^{2}}\cdot ...\cdot \frac{\left ( n-1 \right )\cdot \left ( n+1 \right )}{n^{2}}=\left (\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot...\cdot \frac{n-1}{n} \right )\cdot \left (\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n} \right )=\)
\(=\frac{1}{n}\cdot \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}\).

Avem, deci \(f\left ( x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )=\frac{n+1}{2n}\), \(n\in \mathbb{N},\: n\geq 2\).

Notam \(x_{2}*x_{3}*...*x_{n}=E\), atunci putem scrie \(f\left ( E \right )=\frac{n+1}{2n}\).

Cum \(f\left ( E \right )=\frac{1-E}{1+E}\), avem

\(\frac{1-E}{1+E}=\frac{n+1}{2n}\Leftrightarrow 2n-2nE=n+nE+1+E\)
\(\Leftrightarrow E\left ( 3n+1 \right )=n-1\) \(\Leftrightarrow E=\frac{n-1}{3n+1}\).

Avem, deci \(E=\frac{1}{7}*\frac{1}{17}*...*\frac{1}{2n^{2}-1}=\frac{n-1}{3n+1}\), \(n\in \mathbb{N},\: n\geq 2\).

Varianta corecta de raspuns: \(a)\).