Întrebare matrice

\[Buna\ ziua\\ Fie\ A\in M_n(R),o\ matrice\ cu\ proprietatea\\ A^{2015}+A^{2016}+A^{2017}=O_n\ si\ fie\\ B=A^2+A+I_n.Precizati\ care\ dintre\\ urmatoarele\ afirmatii\ este\ adevarata?\\ a)I_n-AB\ este\ inversabila;\\ b)(detA)\cdot(detB)\neq0\\ c)det(I_n-AB)=0;d)A=I_n\\ e)det(B-A-A^2)=3. multumesc\]

Buna ziua,

Nu trebuie sa postati aceeasi problema de doua ori (nu postati aceeasi problema de doua ori!).

\(b)\), \(d)\) si \(e)\) nu sunt adevarate - se poate verifica repede:

\(b)\): \(A^{2015}+A^{2016}+A^{2017}=A^{2015}\left ( I_{n}+A+A^{2} \right )=A^{2015}B\). Cum \(0=det\left (A^{2015}\cdot B \right )=detA^{2015}\cdot detB=\left (detA \right )^{2015}\cdot detB\),
rezulta ca \(detA=0\) sau \(detB=0\), adica \(detA\cdot detB=detAB=0\).

\(d)\): Daca \(A=I_{n}\), atunci \(det\left (A^{2015}+A^{2016}+A^{2017} \right )=det\left (3I_{n} \right )=3^{n}\neq 0\).

\(e)\): \(B-A-A^{2}=I_{n}\Rightarrow det\left ( B-A-A^2{} \right )=1\neq 3\).

Raman cazurile \(a)\) si \(c)\). Pentru a verifica repede, care dintre variante este cea buna, luati \(A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0&0 \end{pmatrix}\in M_{2}\left ( \mathbb{R} \right )\) - se verifica repede ca varianta corecta este \(a)\).

Buna seara
Va multumesc foarte mult.
Scuze pentru repetitie.Am intrat in panica !!