Întrebare sisteme

.
Sa se determine acele solutii (x,y,z) ale sistemului pentru care x²+y²+z²=1
sistemul este:
2x-2y+z=1
3x-y+2z=2
x+y+z=1

multumesc mult !

Buna ziua,

Determinantul sistemului e zero, folosim Teorema lui Rouche:
Alegem un determinant principal (gasim de ordin 2 - din primele doua ecuatii coeficientii lui \(x\) si \(y\) ): \(d_{p}=\begin{vmatrix} 2 &-2 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}=4\neq0\), este un singur determinant caracteristic \(d_{c}=\begin{vmatrix} 2 &-2 &1 \\ 3 &-1 &2 \\ 1 &1 &1 \end{vmatrix}=0\). Conform Teoremei lui Rouche, sistemul este compatibil (simplu) nedeterminat.

Necunoscuta secundara \(z\) o notam cu \(\alpha\), atunci avem de rezolvat sistemul (de tip Cramer, din primele doua ecuatii, cu necunoscutele - principale - \(x\) si \(y\)):\(\left\{\begin{matrix} 2x -2y& = &1-\alpha \\ 3x-y &= &2-2y \\ \end{matrix}\right.\), rezolvare \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{3\left ( 1-\alpha \right )}{4}\\ y=\frac{1-\alpha }{4}\\ \end{matrix}\right.\) si rezolvarea sistemului initial: \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{3\left ( 1-\alpha \right )}{4}\\ y=\frac{1-\alpha }{4}\\ z=\alpha \end{matrix}\right.\).

Cautam acele solutii (particulare), pentru care

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Leftrightarrow \left [ \frac{3\left ( 1-\alpha \right )}{4} \right ]^{2}+\left ( \frac{1-\alpha }{4} \right )^{2}+\alpha ^{2}=1\). Rezolvand ecuatia (cu necunoscuta \(\alpha\)), obtinem \(\alpha \in \left \{ -\frac{3}{13};1 \right \}\).

Avem doua solutii particulare care corespund cerintei: \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0\\ z=1 \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{12}{13}\\ y=\frac{4}{13}\\ z=-\frac{3}{13} \end{matrix}\right.\).