Întrebare Exercitii bac

Buna seara,

Va rog sa ma ajutati la aceste exercitii:

1. Fie z € C astfel incat 2z² + z + 2 = 0. Calculati |z|.

2. Rezolvati ecuatia 4^x - 3 * 6^x + 2 * 9 ^x = 0.

3. Determinati numarul natural n, n >= 2 stiind ca numarul functiilor strict monotone f: {1, 2} --> {1, 2, ...n} este egal cu 20.

4. Aflati coordonatele simetricului punctului A(1, 2) fata de dreapta x - 2y + 5 = 0

Multumesc mult!

Buna ziua,

1. Rezolvand ecuatia, obtineti: $z\in \left \{ \frac{-1+i\sqrt{15}}{4},\frac{-1-i\sqrt{15}}{4} \right \}\Rightarrow |z|=1$.

2. Impartiti ecuatia cu $9^{x}\left ( =3^{2x} \right )$ , obtineti $\left (\frac{2}{3} \right )^{2x}-3\cdot \left (\frac{2}{3} \right )^{x}+2=0$.
Substituiti $\left (\frac{2}{3} \right )^{x}=t>0$, rezolvati ecuatia $t^{2}-3t+2=0$, rezolvari $t\in \left \{ 1;2 \right \}$.
I. $t=1\Rightarrow\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}=1\Rightarrow x=0$;
II. $t=2\Rightarrow \left (\frac{2}{3} \right )^{x}=2\Rightarrow x=log_{\frac{2}{3}}2$.

3. Numarul functiilor strict crescatoare $f:\left \{ 1;2 \right \}\rightarrow \left \{ 1;2;3;...;n \right \}$, $n\geq 2$ este $C_{n}^{2}$ (la fel si in cazul celor strict descrescatoare).
Se poate scrie, deci: $2\cdot C_{n}^{2}=20\Leftrightarrow n\cdot \left ( n-1 \right )=20$. Cum $n$ este natural, singura rezolvare este $n=5$ ($5\cdot 4=20$).

4. Fie $d$ dreapta data, $A'$ simetricul punctului $A$ fata de dreapta $d$ si $AA'\cap d=\left \{ B \right \}$
($AA'\perp d$).

Scrieti coordonatele unui punct de pe $d$: Daca $y=a\Rightarrow x=2a-5$, deci punctul $B$ are coordonatele $B\left ( 2a-5;a \right )\in d$ . Cum $B$ este mijlocul segmentului $[AA']$, se poate scrie

$\left\{\begin{matrix} \frac{x_{A}+x_{A'}}{2}=x_{B}\\ \frac{y_{A}+y_{A'}}{2}=y_{B} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+x_{A'}}{2}=2a-5\\ \frac{2+y_{A'}}{2}=a \end{matrix}\right.$, de unde $\left\{\begin{matrix} x_{A'}=4a-11\\ y_{A'}=2a-2 \end{matrix}\right.$.

Pentru aflarea valorii lui $a$, folositi ca dreptele $AA'$ si $d$ sunt perpendiculare, adica $m_{AA'}\cdot m_{d}=-1$ $\Leftrightarrow \frac{2a-4}{4a-12}\cdot \frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow a=\frac{14}{5}$.

Coordonatele lui $A'$ (simetricul lui $A$ fata de $d$):

$\left\{\begin{matrix} x_{A'}=4a-11=4\cdot \frac{14}{5}-11=\frac{1}{5}\\ y_{A'}=2a-2=2\cdot \frac{14}{5}-2=\frac{18}{5} \end{matrix}\right.$.

Multumesc mult.

La exercitiul 1 nu am inteles, am obtinut aceleasi solutii, dar nu inteleg: cum ma ajuta sa aflu modulul?

La exercitiul 1. folositi formula pentru modulul unui numar complex: daca $z=a+ib$, $a,b\in \mathbb{R}$, $i^{2}=-1$, este forma algebrica a numarului complex $z$, atunci modului lui $z$ este $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.

In cazul de fata, $z_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4}=-\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{15}}{4}i$, deci

$|z_{1}|=|z_{2}|=\sqrt{\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}+\left (\frac{\sqrt{15}}{4} \right )^{2}}=\sqrt{1}=1$.

Mulțumesc mult, mi-am adus aminte acum.

Numai bine!