Întrebare Exercitii bac

Buna seara,

Va rog sa ma ajutati la aceste exercitii:

1. Fie z € C astfel incat 2z² + z + 2 = 0. Calculati |z|.

2. Rezolvati ecuatia 4^x - 3 * 6^x + 2 * 9 ^x = 0.

3. Determinati numarul natural n, n >= 2 stiind ca numarul functiilor strict monotone f: {1, 2} --> {1, 2, ...n} este egal cu 20.

4. Aflati coordonatele simetricului punctului A(1, 2) fata de dreapta x - 2y + 5 = 0

Multumesc mult!

Buna ziua,

1. Rezolvand ecuatia, obtineti: \(z\in \left \{ \frac{-1+i\sqrt{15}}{4},\frac{-1-i\sqrt{15}}{4} \right \}\Rightarrow |z|=1\).

2. Impartiti ecuatia cu \(9^{x}\left ( =3^{2x} \right )\) , obtineti \(\left (\frac{2}{3} \right )^{2x}-3\cdot \left (\frac{2}{3} \right )^{x}+2=0\).
Substituiti \(\left (\frac{2}{3} \right )^{x}=t>0\), rezolvati ecuatia \(t^{2}-3t+2=0\), rezolvari \(t\in \left \{ 1;2 \right \}\).
I. \(t=1\Rightarrow\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}=1\Rightarrow x=0\);
II. \(t=2\Rightarrow \left (\frac{2}{3} \right )^{x}=2\Rightarrow x=log_{\frac{2}{3}}2\).

3. Numarul functiilor strict crescatoare \(f:\left \{ 1;2 \right \}\rightarrow \left \{ 1;2;3;...;n \right \}\), \(n\geq 2\) este \(C_{n}^{2}\) (la fel si in cazul celor strict descrescatoare).
Se poate scrie, deci: \(2\cdot C_{n}^{2}=20\Leftrightarrow n\cdot \left ( n-1 \right )=20\). Cum \(n\) este natural, singura rezolvare este \(n=5\) (\(5\cdot 4=20\)).

4. Fie \(d\) dreapta data, \(A'\) simetricul punctului \(A\) fata de dreapta \(d\) si \(AA'\cap d=\left \{ B \right \}\)
(\(AA'\perp d\)).

Scrieti coordonatele unui punct de pe \(d\): Daca \(y=a\Rightarrow x=2a-5\), deci punctul \(B\) are coordonatele \(B\left ( 2a-5;a \right )\in d\) . Cum \(B\) este mijlocul segmentului \([AA']\), se poate scrie

\(\left\{\begin{matrix} \frac{x_{A}+x_{A'}}{2}=x_{B}\\ \frac{y_{A}+y_{A'}}{2}=y_{B} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+x_{A'}}{2}=2a-5\\ \frac{2+y_{A'}}{2}=a \end{matrix}\right.\), de unde \(\left\{\begin{matrix} x_{A'}=4a-11\\ y_{A'}=2a-2 \end{matrix}\right.\).

Pentru aflarea valorii lui \(a\), folositi ca dreptele \(AA'\) si \(d\) sunt perpendiculare, adica \(m_{AA'}\cdot m_{d}=-1\) \(\Leftrightarrow \frac{2a-4}{4a-12}\cdot \frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow a=\frac{14}{5}\).

Coordonatele lui \(A'\) (simetricul lui \(A\) fata de \(d\)):

\(\left\{\begin{matrix} x_{A'}=4a-11=4\cdot \frac{14}{5}-11=\frac{1}{5}\\ y_{A'}=2a-2=2\cdot \frac{14}{5}-2=\frac{18}{5} \end{matrix}\right.\).

Multumesc mult.

La exercitiul 1 nu am inteles, am obtinut aceleasi solutii, dar nu inteleg: cum ma ajuta sa aflu modulul?

La exercitiul 1. folositi formula pentru modulul unui numar complex: daca \(z=a+ib\), \(a,b\in \mathbb{R}\), \(i^{2}=-1\), este forma algebrica a numarului complex \(z\), atunci modului lui \(z\) este \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).

In cazul de fata, \(z_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4}=-\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{15}}{4}i\), deci

\(|z_{1}|=|z_{2}|=\sqrt{\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}+\left (\frac{\sqrt{15}}{4} \right )^{2}}=\sqrt{1}=1\).

Mulțumesc mult, mi-am adus aminte acum.

Numai bine!