Întrebare numar complex

Se cosidera numarul complex $$z_{\lambda }=\frac{1+\lambda i}{1-\lambda i},\lambda \in R$$
Sa se demonstreze ca pentru orice $$z_{\lambda _{1}},z_{\lambda _{2}}\in R$$ cu
$$\frac{\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1+\lambda _{1}\lambda _{2}}=k$$
distanta dintre $$z_{\lambda _{1}}, z_{\lambda _{2}}$$ este constanta.

Pentru orice $\lambda\in\mathbb{R}$ există $\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\tan\alpha=\lambda$
Atunci $z_{\lambda}$, pe care acum îl putem nota $z_{\alpha}$ se scrie
$$z_{\alpha}=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha$$
Atunci
$$\displaystyle z_{{\alpha}_1}-z_{{\alpha}_2}=\cos 2\alpha_1-\cos 2\alpha_2+i\left(\sin 2\alpha_1-\sin 2\alpha_2\right)=\\=-2\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)\sin\left(\alpha_1+\alpha_2\right)+2\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)\cos\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$$
Distanța este $|z_{{\alpha}_1}-z_{{\alpha}_2}|=2|\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)|$
Dar din $\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2}=k$ rezultă $\tan\left(\alpha_1-\alpha_2\right)=k$
și avem
$$\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}$$
Rezultă că distanța este $$\frac{2|k|}{\sqrt{1+k^2}}$$

Multumesc!

Frumoasa rezolvare .

Eu am incercat "direct":

$z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}=\frac{1+\lambda _{1}i}{1-\lambda _{1}i}-\frac{1+\lambda _{2}i}{1-\lambda _{2}i}=\frac{2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}-\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}$.

$|z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}|^{2}=\left ( z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}} \right )\cdot \overline{\left ( z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}} \right )}=\frac{2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}-\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}\cdot \frac{-2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}+\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}=$

$=\frac{4\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1-\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4k^{2}\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+k^{2}\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4k^{2}}{1+k^{2}}$.

Atunci distanta dintre $z_{\lambda _{1}}$ si $z_{\lambda _{2}}$ este $|z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}|=\frac{2|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}$, constanta.