Întrebare Variante BAC

Buna ziua!

Ma puteti ajuta, va rog, la subpunctul c) de la acest exercitiu? Am vazut rezolvarea oficiala deja, insa nu am inteles-o prea bine. Daca nu este alta metoda de a rezolva exercitiul, ati putea sa mi-o explicati pe cea oficiala?

Mai întâi, din definirea celor două șiruri, avem
\[\begin{pmatrix}x_{n+6}\\y_{n+6}\end{pmatrix}=A^6\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\]
Voi prezenta două metode de rezolvare (nu știu care este rezolvarea oficială)
1) Metoda „muncitorească”
Din calcule, \(A^3=-8I_2\Rightarrow A^6=64I_2\) și, egalând matricele din cei doi membri, rezultă relația cerută.
2)Metoda unghiului auxiliar
Matricea A se poate scrie
\[A=2\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3}\\\sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}\]
Se poate arăta prin inducție că
\[A^n=2^n\begin{pmatrix}\cos\frac{n\pi}{3} & -\sin\frac{n\pi}{3}\\\sin\frac{n\pi}{3} & \cos\frac{n\pi}{3}\end{pmatrix}\]
Atunci
\[A^6=2^6\begin{pmatrix}\cos 2\pi & -\sin 2\pi\\\sin 2\pi & \cos 2\pi\end{pmatrix}=64I_2\]
De multe ori în calculul puterilor matricelor pătratice se folosește această metodă, deoarece puterile se calculează mai ușor pe baza unor formule trigonometrice. Altfel e mai greu de observat o regulă pe care să o demonstrăm apoi prin inducție.

Obs. O altă relație folosită destul de des în calculul puterilor matricelor pătratice este relația lui Cayley-Hamilton
\[A^2-Tr(A)\cdot A+\det(A)\cdot I_2=O_2\]
Relația se folosește atunci când \(Tr(A)\) sau \(\det(A)\) sunt nule (ceea ce nu este cazul acestei probleme).

Acum am inteles.Va multumesc mult!

M-ar putea ajuta cineva cu variantele de bac 2007, M1 (toate cele 100)?
Mulțumesc!

Bună ziua,

Aici le găsiți pe toate (inclusiv rezolvările).