Întrebare Varianta

Buna ziua!

Va rog sa imi explicati cum se rezolva subpunctul c) de la urmatorul exercitiu.

Multumesc frumos!

Buna seara,

Folositi legea contrapozitiei: daca $p$ si $q$ sunt predicate, atunci: $p\rightarrow q\leftrightarrow \overline{q}\rightarrow \overline{p}$.

Adica: in loc sa demonstrati ca matricea $xA+yA^{t}$, $x,y\in \mathbb{C}$ este inversabila $\Rightarrow x+y\neq 0$, demonstrati ca: $x+y=0,\: x,y\in \mathbb{C}\Rightarrow$ matricea $xA+yA^{t}$ nu este inversabila (adica determinantul ei este nul).

$x+y=0\Rightarrow y=-x\Rightarrow xA+yA^{t}=xA-xA^{t}=x\left ( A-A^{t} \right )$.

$\left ( A-A^{t} \right )^{t}=A^{t}-A=-\left ( A-A^{t} \right )$.

$det\left ( A-A^{t} \right )=det\left ( A-A^{t} \right )^{t}=det\left [ -\left ( A-A^{t}\right ) \right ]= (-1)^{3}\cdot det\left ( A-A^{t} \right )=$
$=-det\left ( A-A^{t} \right )$, de unde $2det\left ( A-A^{t} \right )=0\Rightarrow det\left ( A-A^{t} \right )=0$.

Deci $det\left ( xA+yA^{t} \right )=det\left [ x\left ( A-A^{t} \right ) \right ]=x^{3}\cdot det\left ( A-A^{t} \right )=0$.