Întrebare Ec de gr 2

Buna,

Sa se determine numerele reale a si b astfel incat {x∈R | x^2+2ax+b=0}\{x∈R | x^2+2bx+a=0}=∅.

Va rog daca stie cineva cum se face acest exercitiu.

Am incercat sa pun toate conditiile care ar merge, ba primul determinant sa fie negativ, iar al doilea pozitiv, sau egal cu zero sau negativ. Ba ambii determinanti sa fie zero si radacinile diferite. Nu ajung la nimic frumos, ajung la multe litere pe care nu stiu cum sa le mai grupez. Am aflat ca s-ar face usor cu tabelul de variatie al functiei de gradul 2, dar inca nu am ajuns la acea lectie la scoala.

Va multumesc

"Sa se determine numerele reale a si b astfel incat {x∈R | x^2+2ax+b=0}\{x∈R | x^2+2bx+a=0}=∅."

Ar fi bine să citești din nou definițiile privind mulțimile și determinanții. În problemă se cere determinarea numerelor reale a și b astfel ca diferența dintre două mulțimi să fie mulțimea vidă, ceea ce implică egalitatea mulțimilor, adică a=b.

Vedeti ce se intampla cand a=-1/2 si b=1/4.

Fie \(A=\{x\in\mathbb{R}|x^2+2ax+b=0\}\) și \(B=\{x\in\mathbb{R}|x^2+2bx+a=0\}\).
Fie \(x_1, \ x_2\) rădăcinile ecuației din mulțimea A și \(x_3, \ x_4\) rădăcinile ecuației din mulțimea B.
Atunci trebuie ca \(A-B=\varnothing\). Avem următoarele cazuri:
1) \(A=\varnothing\Rightarrow \Delta_1<0\Rightarrow a^2<b, \ b>0\).
2) \(A\ne\varnothing, \ A\subset B\) (incluziune strictă). Atunci \(\Delta_1=0, \ \Delta_2>0\) și ecuațiile au o rădăcină comună. Fie \(x_1\) rădăcina comună. Atunci
\[x_1^2+2ax_1+b=0\]\[x_1^2+2bx_1+a=0\]
Scăzând egalitățile obținem \[2(a-b)x_1=a-b\]
Dacă \(a\ne b\) atunci rădăcina comună este \(x_1=\frac{1}{2}\). Rezultă \(a+b=-\frac{1}{4}\) (1), iar din \(\Delta_1=0\) avem \(a^2=b\) (2)
Rezolvând sistemul format din (1) și (2) rezultă \(a=-\frac{1}{2}, \ b=\frac{1}{4}\), caz în care \(A=\left\{\frac{1}{2}\right\}, \ B=\left\{-1,\frac{1}{2}\right\}\)
Dacă \(a=b\), atunci \(A=B\) și nu convine acestui caz.
3) \(A=B\). În acest caz ecuațiile au ambele rădăcini comune (reale sau nu), deci \(a=b\)