Întrebare Polinoame - divizibilitate

Buna, ma puteti ajuta va rog cu acest exercitiu?

f=(X+1)^(6n+1)+X^(6n+2)
g=X^2+X+1
Sa se arate ca f este divizibil cu g.

Multumesc.

Buna seara!
Sa se arate ca polinomul f = (x+1)^(6n+1) + x^(6n+2), este divizibil cu polinomul g = x^2 + x + 1.
Din expresia polinomului g = x^2 + x + 1 scoatem (x + 1) = (g - x^2), iar (x + 1)^(6n+1) = (g - x^2)^(6n+1), la care aplicam dezvoltarea cu binomul lui Newton, asfel:
(x + 1)^(6n+1) = (g - x^2)^(6n+1) = g*h - (x^(12n+2)), apoi ((x + 1)^(6n+1)) +(x^(6n+2)) = g*h + (x^(6n+2)) - (x^(12n+2)) = g*h - (x^(6n+2))*((x^6n)-1) = g*h - (x^(6n+2))*((x^3n)-1)*((x^3n)+1), dar ((x^3n)-1) = ((x^3)-1)*((x^(3n-3)) + (x^(3n-6)) + .... + (x^3) + 1) = ((x^3)-1)*h1 = (x - 1)*g*h1, unde h1 este expresia polinomului din paranteza mare. f = (x+1)^(6n+1) + x^(6n+2) = g*h - (x^(6n+2))*((x^3n)+1)*(x - 1)*g*h1 = g*(h - (x^(6n+2))*((x^3n)+1)*(x - 1)*h1); deci polinomul f este divizibil cu polinomul g, factorul comun al intregii dezvoltari, ceea ce ni s-a cerut in problema. Sper ca am reusit, cumva sa ma fac inteles si sa-ti fiu de ajutor. O seara minunata, pe mai departe!

Daca f e divizibil cu g, atunci orice radacina a lui g este solutia lui f. De aici, ajunge sa demonstram ca, daca un x oarecare este radacina lui g, atunci f(x)=0. Presupunem, ca x e solutia lui g, deci x²+x+1=0. Inmultim aceasta ecuatie cu x-1<>0, de unde avem x³-1=0. Rezulta x³=1, si x+1=-x².
f(x)=(x+1)⁶ⁿ⁺¹+x⁶ⁿ⁺²=
=(-x²)⁶ⁿ⁺¹+x⁶ⁿ⁺²=
=(-x²)⁶ⁿ*(-x²)+x⁶ⁿ*x²=
=(x³)⁴ⁿ*(-x²)+(x³)³ⁿ*x²=
=1*(-x²)+1*x²=
=-x²+x²=0
De aici rezulta ca f e divizibil cu g

Magdi75 - CORECT și frumos !