Întrebare Exercitiu multime

$M=\left\{ x\in \mathbb{R}/\left\{ \frac{5x-2}{3} \right\}=x+1 \right\}$

Multumesc anticipat.. as avea nevoie de cateva explicatii in rezolvarea acestei probleme!

Buna ziua,

Folosim definitia partii fractionare:

$\left \{ x\right \}=x-[x],\: \forall x\in \mathbb{R}$, deci $\left \{ \frac{5x-2}{3} \right \}=\frac{5x-2}{3}-\left [ \frac{5x-2}{3} \right ]$.

Atunci avem ecuatia $\left \{ \frac{5x-2}{3} \right \}=x+1\Leftrightarrow \left [ \frac{5x-2}{3} \right ]=\frac{2x-5}{3}$.

Cum pe partea dreapta a ecuatiei avem $\left [ \frac{5x-2}{3} \right ]$, un numar intreg,
rezulta ca si $\frac{2x-5}{3}$ este intreg.

Notam $\frac{2x-5}{3}=k\in \mathbb{Z}$, deci $x=\frac{3k+5}{2}$.

Avem $\left [ \frac{5x-2}{3} \right ]=\frac{2x-5}{3}\Leftrightarrow \left [ \frac{5\cdot \frac{3k+5}{2}-2}{3} \right ]=k$ , adica $\left [ \frac{15k+21}{6} \right ]=k$.

Putem scrie

$k\leq \frac{15k+21}{6}<k+1\Leftrightarrow -21\leq 9k<-15,\: k\in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow -\frac{7}{3}\leq k<-\frac{5}{3},\: k\in \mathbb{Z}$, deci $k=-2$.

Avem $x=\frac{3k+5}{2}=\frac{3\cdot \left ( -2 \right )+5}{2}=-\frac{1}{2}$.

Atunci $M=...?$

Află cum poți scrie formule pe acest forum!

Multumesc ! O sa fiu atent sa folosesc text.