Întrebare neclaritati algebra si geometrie.

Buna ziua!Vineri am teza si am cate exercitii neclare.
1) |x| < 2
|y| < 2
Din alea 2 => |(2x+2y)/(4+xy)| < 1
Exercitiul asta l-am inceput in felul urmator dar m-am blocat.
-2<x<2
-2<y<2
Aratam ca -1<(2x+2y)/(4+xy)<1 /*(4+xy)
-4-xy<2x+2y<4+xy si de aici nu stiu ce sa fac.Nu inteleg ce trebuie sa facem in acest exercitiu.
2) [x]+[x+1]+[x+2]+...+[x+2015]=1+2+...+2015+2016
Asta l-am facut dar nu cred ca l-am rezolvat corect.Am procedat asa:
[x]+[x]+1+[x]+2+...+[x]+2015=1+2+...+2015+2016
Si aici e intrebarea mea: partile intregi se pot aduna ? De ex [x]+[x]=[2x] ?
Asa am procedat la exercitiul asta:
Daca am fi sa adunam partile intregi ale lui x ar fi [x]+[x]+...[x] de 2015 ori.
[2015x] = 2016 deoarece 1+2+...+2015 din dreapta se reduc cu ceilalti din stanga si in dreapta ramanand doar 2016.
Alta intrebare: Daca avem un asa exemplu avem voie sa impartim la 2015 ? Ca sa aflam doar [x] ? Eu asa am facut:
[2015x] = 2016 /: 2015 = > [x] = 1.0004 deci x = 1
3)ABCD paralelogram.Punctele M,N,P,Q astfel incat: CM=2MD , DN=2NB , CP=-1/3*BC , DQ = 2CQ ( toate segmentele sunt vectori )
a) Aratati ca triunghiurile MNP si BCD au acelasi centru de greutate ( asta l-am rezolvat )
b)Aratati ca oricare ar fi pct. O din planul paralelogramului poate avea loc relatia OA+OC=OB+OD ( la fel segmentele sunt vectori ) - aici nu stiu cum sa fac.Stiu ca , cu ajutorul acestei relatii demonstram ca un patrulater este paralelogram.
Multumesc

1) Știm \(|x|<2\Leftrightarrow -2<x<2\) ; \(|y|<2\Leftrightarrow -2<y<2\)
Trebuie să dovedim că:
\(\left| \frac{2x+2y}{4+xy} \right|<1\Leftrightarrow -1<\frac{2x+2y}{4+xy}<1\)
\(-1<\frac{2x+2y}{4+xy}\)(I) ; \(\frac{2x+2y}{4+xy}<1\) (II)
Din (II) trebuie să dovedim că \(\frac{2x+2y}{4+xy}<1\Leftrightarrow \frac{2x+2y-4-xy}{4+xy}<0\Leftrightarrow \)
\(\frac{2x+2y-4-xy}{4+xy}>0\Leftrightarrow \frac{(x-2)(2-y)}{4+xy}<0\)
Dar \(|x|<2\Leftrightarrow -2<x<2\) ; \(|y|<2\Leftrightarrow -2<y<2\)
De aici \(x-2<0\,;\,2-y>0\Rightarrow (x-2)(2-y)<0\)
\(|xy|<4\Leftrightarrow -4<xy<4\Rightarrow 0<4+xy<8\)
Deci \(\frac{(x-2)(2-y)}{4+xy}<0\)
Procedăm la fel și pentru inecuația (I).

2) [x]+[x]+1+[x]+2+...+[x]+2015=1+2+...+2015+2016
2016[x]=2016
[x]=1

Nu este corect [ax]=[x].
De exemplu \(2\cdot [3,5]=6;\,[2\cdot 3,5]=7\)

3)Notezi cu Q punctul de intersecție al diagonalelor
\(\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\)
\(\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB})\)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}\)

Pe viitor încearcă să scri câte o problemă și așteaptă rspunsul. Sigur va veni mult mai repede...