Întrebare metoda pentru un determinant triunghiular

Buna ziua
Sa se calculeze urmatorul determinant:
\[\begin{vmatrix} 1&2&3&4\dots n-2&n-1&n\\ 2&3&4&5\dots n-1&n&n\\ 3&4&5&6\dots n&n&n\\ \dots\dots\dots\\ n&n&n&n\dots n&n&n\\ \end{vmatrix}\]
Rezultatul este \[(-1)^{n+1}\cdot n\]
Nu stiu daca ajuta,eu am observat ca ultima coloana contine doar n si se poate scoate factor comun apoi sirul reprezinta o progresie aritmetica si putem eventual sa ii calculam suma.
multumesc

\[n\left| \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4\ldots n-2 & n-1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5\ldots n-1 & n & 1 \\
3 & 4 & 5 & 6\ldots n & n & 1 \\
\ldots \ldots \ldots & {} & {} & {} & {} & {} \\
n & n & n & n\ldots n & n & 1 \\
\end{matrix} \right|\overset{\begin{smallmatrix}
{{L}_{2}}-{{L}_{1}} \\
{{L}_{3}}-{{L}_{1}}
\\
{{L}_{n}}-{{L}_{1}}
\end{smallmatrix}}{\mathop{=}}\,\]
\[n\left| \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4\ldots n-2 & n-1 & \left[ 1 \right] \\
1 & 1 & 1 & 1\ldots 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 2\ldots 2 & 1 & 0 \\
\ldots \ldots \ldots & {} & {} & {} & {} & {} \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4\ldots 2 & 1 & 0 \\
\end{matrix} \right|\overset{\begin{smallmatrix}
\\

\\

\end{smallmatrix}}{\mathop{=}}\,\]
Dezvoltăm după ultima coloană și obținem
\[n\cdot 1\cdot {{(-1)}^{1+n}}\left| \begin{matrix}
{} & {} & {} & {} & {} & {} \\
1 & 1 & 1 & 1\ldots 1 & 1 & {} \\
2 & 2 & 2 & 2\ldots 2 & 1 & {} \\
\ldots \ldots \ldots & {} & {} & {} & {} & {} \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4\ldots 2 & 1 & {} \\
\end{matrix} \right|\overset{\begin{smallmatrix}
{{C}_{2}}-{{C}_{1}} \\
{{C}_{3}}-{{C}_{1}}
\\
{{C}_{n-1}}-{{C}_{1}}
\end{smallmatrix}}{\mathop{=}}\,\]
\[n\cdot 1\cdot {{(-1)}^{1+n}}\left| \begin{matrix}
{} & {} & {} & {} & {} & {} \\
1 & 0 & 0 & 0\ldots 0 & 0 & {} \\
2 & 0 & 0 & 0\ldots 0 & -1 & {} \\
\ldots \ldots \ldots & {} & {} & {} & {} & {} \\
n-1 & -1 & -2 & -3\ldots 3-n & 2-n & {} \\
\end{matrix} \right|\overset{\begin{smallmatrix}
\\

\\

\end{smallmatrix}}{\mathop{=...}}\,\]

\[=(-1)^{n+1}\cdot n\]

Buna ziua
Va multumesc foarte mult pentru rezolvare.
Daca nu va suparati am o mica nelamurire:cum s-a ajuns la ultima egalitate?
Se poate detalia?

Cu ocazia noului An va urez LA MULTI ANI!

După ce dezvoltați după prima coloană veți obtine un determinant cu elementele diagonalei secundare -1 și elementele aflate deasupra diagonalei principale 0. Așa puteți vedea că determinantul este -1 sau 1. Vă rog să verificați fiindcă am lucrat în grabă.

LA MULȚI ANI!