Întrebare teorema LAPLACE

Buna ziua
Va solicit ajutorul pentru a-mi explica teorema lui Laplace in calculul unui determinant.
Eu stiu asa:consideram un determinant de ordin n.Consideram un numar intreg \[1\leq k\leq n\ si\ randurile\ i_1,i_2..i_k\ si\ coloanele\ j_1,j_2...j_k\].Daca stergem celelalte randuri si coloane vom obtine un determinant de ordinul k denumit minorul lui D notat cu \[M^{i_1i_2...i_k}_{j1j2....jk}\]
Acum daca stergem randurile \[i_1i_2...i_k\ si\ coloanele\ j_1j_2...j_k\]vom obtine un determinant de ordinul n-k denumit minorul complementar al lui \[M^{i_1...i_k}_{j_1..j_k}\]si se numeste \[\widetilde{M}^{i_1..i_k}_{j_1...j_k}\]Notam cu \[A^{i_1..i_k}_{j_1..j_k}=(-1)^{i_1+i_2+\dots i_k+j_1+\dots j_k}\cdot\widetilde{M^{i_1...i_k}_{j_1..j_k}}\]care se numeste cofactor al lui
\[M^{i_1...i_k}_{j_1...j_k}\]
Construieste apoi urmatoaea matrce: \[\begin{pmatrix} A&O_n\\ -I_n&B\\ \end{pmatrix}\]din care daca \[c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\]vom obtine determinantul:
\[D=\begin{vmatrix} a_{11}\dots a{1n}c_{11}\dots c_{1n}\\ \dots\dots\\ a_{n1}\dots a_{nn}c_{n1}\dots c_{nn}\\ -1\dots\dots0\dots 0\\ 0\dots\dots0 0\dots 0\\ 0\dots-1\ 0\dots 0\\ \end{vmatrix}\]
Mai se arata ca det(AB)=det(A+B)si
\[Gaseste\ ca D=(-1)^n\cdot(-1)^{1+2+\dots 2n}\cdot detC\]
De fapt scopul metodei LAPLACE este de a calcula determinantul D
si mi-ar fi foarte util daca se poate sa mi se dea un exemplu numeric
Multumesc!.

Un exemplu :

În video semnele + sau – vin de la (-1)^{linie+coloană}


Un alt exemplu:

\(\left| \begin{matrix}
1 & 2 & -1 \\
3 & 4 & -2 \\
4 & 0 & 3 \\
\end{matrix} \right|\overbrace{=}^{{{L}_{1}}}1\cdot {{\delta }_{11}}+2{{\delta }_{12}}+(-1){{\delta }_{13}}=\)
\(1\cdot {{(-1)}^{1+1}}\left| \begin{matrix}
4 & -2 \\
0 & 3 \\
\end{matrix} \right|+2\cdot {{(-1)}^{1+2}}\left| \begin{matrix}
3 & -2 \\
1 & 3 \\
\end{matrix} \right|+(-1){{(-1)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}
3 & 4 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right|=\)
\(=12-22+4=-6\)

Buna ziua
Va multumesc foarte mult pentru filmulet.
Acum pe mine m-ar interesa sa dezvolt un determinant care are mai multe linii si coloane ca spre exemplu:
\[\begin{vmatrix} 1&0&0&0&2\\ 0&1&0&0&3\\ x&0&1&0&4\\ x&x&0&1&5\\ x&x&x&0&6\\ \end{vmatrix}\]
Acest determinant fiind de ordin mai mare se imparte in doua zone si anume:linia unu si doi in prima zona si linia trei,patru si cinci in zona a doua.
Se formeaza apoi minorii din prima zona diferiti de zero care sunt:
\[\begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1&2\\ 0&3\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0&2\\ 1&3\\ \end{vmatrix}\]care se inmultesc cu (-1)la o anumita putere si cu cofactorii respectivi si apoi se insumeaza toate rezultand valoarea determinantului.
Ma puteti ajuta sa imi indicati cum se face concret pe acest exemplu?multumesc mult

Se procedează ca în exemplele de mai sus dar trebuie să dezvoltați de mai multe ori după liniile sau coloanele unde aveți mai multe zerouri (pentru a calcula câți mai puțini determinanți).