Întrebare Ex olimpiada cls a7a

Determinati nr rationale x si y care verifica egalitatea:

√2/√3=(|2x+y|-5) *√5+√2 / |3y-3|*√5+√3

Buna seara,

Daca banuiesc bine, egalitatea arata asa:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\left (|2x+y|-5 \right )\cdot \sqrt{5}+\sqrt{2} }{|3y-3|\cdot \sqrt{5}+\sqrt{3}}$, $x,y\in \mathbb{Q}$.

Notam $|2x+y|-5=u\in \mathbb{Q}$ si $|3y-3|=v\in \mathbb{Q}$.

Atunci avem egalitatea $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{u\sqrt{5}+\sqrt{2}}{v\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.

Folosim proprietatea fundamentala a proportiilor, si avem
$v\sqrt{10}+\sqrt{6}=u\sqrt{15}+\sqrt{6}\Leftrightarrow u\sqrt{15}=v\sqrt{10}$.

Impartim egalitatea la $\sqrt{5}$, si putem scrie $u\sqrt{3}=v\sqrt{2},\: u,v\in \mathbb{Q}\Rightarrow u=v=0$, adica $|2x+y|-5=0$ si $|3y-3|=0$.

Din a doua ecuatie avem ca $y=1$.

Atunci, din ecuatia $|2x+y|-5=0$, $x$ poate fi: ...

Deci, avem rezolvarile rationale: $\left \{ \left ( ...,... \right ),\left ( ..., \right.... ) \right \}$