Întrebare Ex olimpiada cls a7a

Determinati nr rationale x si y care verifica egalitatea:

√2/√3=(|2x+y|-5) *√5+√2 / |3y-3|*√5+√3

Buna seara,

Daca banuiesc bine, egalitatea arata asa:

\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\left (|2x+y|-5 \right )\cdot \sqrt{5}+\sqrt{2} }{|3y-3|\cdot \sqrt{5}+\sqrt{3}}\), \(x,y\in \mathbb{Q}\).

Notam \(|2x+y|-5=u\in \mathbb{Q}\) si \(|3y-3|=v\in \mathbb{Q}\).

Atunci avem egalitatea \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{u\sqrt{5}+\sqrt{2}}{v\sqrt{5}+\sqrt{3}}\).

Folosim proprietatea fundamentala a proportiilor, si avem
\(v\sqrt{10}+\sqrt{6}=u\sqrt{15}+\sqrt{6}\Leftrightarrow u\sqrt{15}=v\sqrt{10}\).

Impartim egalitatea la \(\sqrt{5}\), si putem scrie \(u\sqrt{3}=v\sqrt{2},\: u,v\in \mathbb{Q}\Rightarrow u=v=0\), adica \(|2x+y|-5=0\) si \(|3y-3|=0\).

Din a doua ecuatie avem ca \(y=1\).

Atunci, din ecuatia \(|2x+y|-5=0\), \(x\) poate fi: ...

Deci, avem rezolvarile rationale: \(\left \{ \left ( ...,... \right ),\left ( ..., \right.... ) \right \}\)