Varianta 13

Prof. Brabeceanu Silvia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi numărul real x pentru care numerele \(2,\text{ }{{x}^{2}}+3x,\text{ }8\)sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

(5p) 2. Determinaţi valoarea parametrului real m pentru care punctul \(V\left( \frac{3}{4},3m+1 \right)\)să fie vârful parabolei asociate  funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3x+4\).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\mathop{\log }_{2}\left( {{x}^{2}}+9 \right)=\mathop{\log }_{2}\left( 5x+15 \right)\).

(5p) 4. Determinaţi câte numere impare \(\overline{ab}\) se pot forma ştiind că \(a,b\in \left\{ 1,2,4,7 \right\}\)şi \(a\ne b\).

(5p) 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{i}+\left( a-2 \right)\overrightarrow{j}\)şi \(\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\)sunt coliniari.

(5p) 6. Rezolvaţi în mulţimea \(\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)ecuaţia \(2\cos x-\sqrt{3}=0\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea \(A\left( m \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ m & 0 & 0 \\ m & 2 & m  \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculaţi \(\det \left( A\left( 1 \right) \right)\).

(5p) b) Determinaţi numărul real m ştiind că \(A\left( m \right)\cdot A\left( -m \right)=\left( \begin{matrix}-1 & 3 & 0  \\ 1 & 1 & 1  \\ -2 & 3 & 0  \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) c) Calculaţi \(\left( A\left( 1 \right) \right)+\left( A\left( 2 \right) \right)+\cdots +\left( A\left( 10 \right) \right)\)

2.  Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie \(x*y=2xy-6x-6y+21,\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Calculaţi \(3*4*\left( -3 \right)\).

(5p) b) Arătaţi că \(x*y=2\left( x-3 \right)\left( y-3 \right)+3,\text{ }\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) c)  Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(x*x*x=7\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.  Se consideră funcţia \(f:\left( 1,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{2x-1}{x-1}\).

(5p) a) Să se calculeze \({f}'\left( x \right),\text{ }x\in \left( 1,\infty  \right)\).

(5p) b) Să se verifice că \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=-1\).

(5p) c)  Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=2\).

2.  Se consideră funcţiile \(f,g:\left( 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{  }f\left( x \right)=2\ln x-3x\)şi \(g\left( x \right)=\frac{2-3x}{x}\).

(5p) a)  Să se arate că f  este o primitivă a lui g , \(\forall x\in \left( 0,\infty  \right)\).

(5p) b)  Să se calculeze \(\int{f\left( x \right)dx}\).

(5p) c)  Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}\).