Varianta 46

Prof.  Nicolaescu Nicolae

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați \(\left[ \sqrt{2014} \right]+\sqrt{\left[ \frac{2014}{2013} \right]}\).

(5p) 2. Se consideră șirul \({{\left( \mathop{a}_{n} \right)}_{n\ge 1}}\) definit prin \({{a}_{n}}=5n-3\). Arătați că șirul este o progresie aritmetică.

(5p) 3. Fie \({{x}_{1}}\) și \({{x}_{2}}\) soluțiile ecuației \({{x}^{2}}+3x+3=0\).Calculați \(\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{\mathop{x}_{_{1}}\mathop{x}_{_{2}}}\)

(5p) 4. Se consideră funcția \(f:R\to R,\ f(x)=1+3x\). Rezolvați în R ecuația \(f\circ f=f\).

(5p) 5.  Fie \(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)și \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Calculați tgx.

(5p) 6. Fie paralelogramul ABCD cu AB=6, BC=8, \(m\left( \widehat{B} \right)=\frac{\pi }{6}\). Calculați aria triunghiului ABO, unde O este punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & x+2y-3z=1 \\ & mx-y+z=-1 \\ & x-my-z=2 \\ \end{align} \right.\ ,\ m\in R\)

(5p) a) Calculați determinantul matricei A, unde A reprezintă matricea asociată sistemului.

(5p) b) Determinați valorile reale ale lui m astfel încât matricea A să fie inversabilă.

(5p) c) Arătați că sistemul este incompatibil  pentru m= -1.

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}-\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right){{X}^{2}}+\left( m+n \right)X+1,\ m,n\in R.\)

(5p) a) Calculați f(0).

(5p) b) Determinați m,n\(\in \)R, astfel incât între rădăcinile polinomului \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}},\,{{x}_{3}}\)să existe relația \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}=-\frac{1}{2}\).

(5p) c) Pentru m=1 și n=0 calculați f(1)+f(2)+…+f(100).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:R-\left\{ 2 \right\}\to R,\ f(x)=\frac{2014x}{x-2}\).

(5p) a) Calculați \(f'(x)\).

(5p) b) Arătați că \(f(x)<2014,\,\forall x\in \left( -\infty ,2 \right)\).

(5p) c) Calculați \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 2 \\ x>2 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,arct{{g}^{2}}\sqrt{x-2}\cdot f(x)\)

2. Se consideră funcțiile \(f,g:\left( 0,\infty \right)\to R,\,f(x)={{x}^{3}}\left( \ln x-1 \right),\,g(x)={{x}^{2}}\left( 3\ln x-2 \right)\)

(5p) a) Arătați că f este o primitivă a lui g.

(5p) b) Calculați \(\int\limits_{1}^{e}{g(x)dx}\).

(5p) c) Calculați \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)