Varianta 48

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi partea întreagă a numărului \(a=\sum\limits_{k=1}^{2012}{\frac{1}{k\sqrt{k+1}+\left( k+1 \right)\sqrt{k}}}.\)

(5p) 2. Determinaţi valorile parametrului real m pentru care \(\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x-m+2\ge 0,\left( x \right)\in \mathbb{R}.\)

(5p) 3. Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(\sqrt{3}\sin x-\cos x=2.\).

(5p) 4. Determinaţi \(n\in \mathbb{N}\)dacă în dezvoltarea \({{\left( 1+x \right)}^{n}}\)coeficienţii lui\({{x}^{4}}\text{ i }{{x}^{13}}\text{ sunt egali}\text{.}\)

(5p) 5. Fie familia de drepte \({{d}_{m}}:\left( 2m-1 \right)x+\left( m+1 \right)y+5-m=0,\text{ }m\in \mathbb{R}.\)Demonstraţi că dreptele trec printr-un punct fix şi determinaţi coordonatele acestuia.

(5p) 6. Calculaţi \(\sin \left( \arccos \frac{12}{13} \right).\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\text{, }{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\text{ i }A=B+{{I}_{3}}.\)

(5p) a) Arătaţi că \({{A}^{2}}=3A\);

(5p) b) Calculaţi \({{A}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\);

(5p) c) calculaţi \(A+{{A}^{2}}+{{A}^{3}}+....+{{A}^{2012}}\).

2. Se consideră mulţimea \(G=\left\{ {{A}_{x}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)|x\in \mathbb{Z} \right\}.\)(5p) a) Arătaţi că G este parte stabilă a lui \({{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\)în raport cu înmulţirea matricelor;

(5p) b) Demonstraţi că \(\left( G,\cdot  \right)\)este grup abelian;

(5p) c) Arătaţi că \(\left( G,\cdot  \right)\simeq \left( \mathbb{Z},+ \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie familia de funcţii de gradul al treilea \({{f}_{m}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }{{f}_{m}}\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+x-1;\text{ }m\in \mathbb{R}.\)

(5p) a) Aflaţi punctele de extrem local ale funcţiei \({{f}_{2}}\);

(5p) b) Arătaţi că \({{f}_{1}}\)este inversabilă şi calculaţi \({{\left( {{f}_{1}}^{-1} \right)}^{'}}\left( 2 \right)\);

(5p) c) Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât ecuaţia \(\text{ }{{f}_{m}}\left( x \right)=2x-2\)are trei soluţii reale.

2. Fie funcţiile \({{f}_{n}}:\left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]\to \mathbb{R},\text{ }{{f}_{n}}\left( x \right)=\text{t}{{\text{g}}^{n}}x;\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{şi şirul }\)\({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( 1+{{f}_{n}}\left( x \right) \right)}dx\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}_{2}}\left( x \right)}dx\);

(5p) b) Demonstraţi că şirul \(\text{ }{{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}\)este convergent;

(5p) c) Arătaţi că \(\text{max}\left\{ {{I}_{n}}\text{ }\!\!|\!\!\text{  }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right\}=\frac{\pi \ln 2}{8}\).