Varianta 48

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi partea întreagă a numărului $a=\sum\limits_{k=1}^{2012}{\frac{1}{k\sqrt{k+1}+\left( k+1 \right)\sqrt{k}}}.$

(5p) 2. Determinaţi valorile parametrului real m pentru care $\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x-m+2\ge 0,\left( x \right)\in \mathbb{R}.$

(5p) 3. Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ecuaţia $\sqrt{3}\sin x-\cos x=2.$.

(5p) 4. Determinaţi $n\in \mathbb{N}$dacă în dezvoltarea ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$coeficienţii lui${{x}^{4}}\text{ i }{{x}^{13}}\text{ sunt egali}\text{.}$

(5p) 5. Fie familia de drepte ${{d}_{m}}:\left( 2m-1 \right)x+\left( m+1 \right)y+5-m=0,\text{ }m\in \mathbb{R}.$Demonstraţi că dreptele trec printr-un punct fix şi determinaţi coordonatele acestuia.

(5p) 6. Calculaţi $\sin \left( \arccos \frac{12}{13} \right).$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea $B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\text{, }{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\text{ i }A=B+{{I}_{3}}.$

(5p) a) Arătaţi că ${{A}^{2}}=3A$;

(5p) b) Calculaţi ${{A}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$;

(5p) c) calculaţi $A+{{A}^{2}}+{{A}^{3}}+....+{{A}^{2012}}$.

2. Se consideră mulţimea $G=\left\{ {{A}_{x}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)|x\in \mathbb{Z} \right\}.$(5p) a) Arătaţi că G este parte stabilă a lui ${{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)$în raport cu înmulţirea matricelor;

(5p) b) Demonstraţi că $\left( G,\cdot  \right)$este grup abelian;

(5p) c) Arătaţi că $\left( G,\cdot  \right)\simeq \left( \mathbb{Z},+ \right)$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie familia de funcţii de gradul al treilea ${{f}_{m}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }{{f}_{m}}\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+x-1;\text{ }m\in \mathbb{R}.$

(5p) a) Aflaţi punctele de extrem local ale funcţiei ${{f}_{2}}$;

(5p) b) Arătaţi că ${{f}_{1}}$este inversabilă şi calculaţi ${{\left( {{f}_{1}}^{-1} \right)}^{'}}\left( 2 \right)$;

(5p) c) Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât ecuaţia $\text{ }{{f}_{m}}\left( x \right)=2x-2$are trei soluţii reale.

2. Fie funcţiile ${{f}_{n}}:\left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]\to \mathbb{R},\text{ }{{f}_{n}}\left( x \right)=\text{t}{{\text{g}}^{n}}x;\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{şi şirul }$${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( 1+{{f}_{n}}\left( x \right) \right)}dx$.

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}_{2}}\left( x \right)}dx$;

(5p) b) Demonstraţi că şirul $\text{ }{{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}$este convergent;

(5p) c) Arătaţi că $\text{max}\left\{ {{I}_{n}}\text{ }\!\!|\!\!\text{  }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right\}=\frac{\pi \ln 2}{8}$.