Varianta 57

Prof. Oláh Csaba

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă \(z\in C\), \(z+\frac{1}{z}=i\), să se calculeze \({{z}^{4}}+\frac{1}{{{z}^{4}}}\).

(5p) 2. Fie \(f,g:R\to R\),\(f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+8\) şi \(g\left( x \right)=2x-6\). Să se rezolve ecuaţia \(\left( f\circ g \right)\left( x \right)=0\).

(5p) 3. Să se afle valoare lui \(x\)din ecuaţia \({{\log }_{x-1}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{_{x+1}}}\left( x-1 \right)=2\).

(5p) 4. Să se determine \(n\in {{N}^{*}}\) dacă \(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}=2048\).

(5p) 5. Fie punctele \(A\left( 2,3 \right)\),\(B\left( 1,5 \right)\) şi \(C\left( 2,7 \right)\)în sistemul cartezian. Să se calculeze \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}\).

(5p) 6. Să se demonstreze că \(2\left( \sin a+\sin b \right)\left( \sin a-\sin b \right)=\cos 2b-\cos 2a\), \(a,b\in R\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie determinantul \(D=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ \end{matrix} \right|\) , unde \({{x}_{1}}\),\({{x}_{2}}\)şi\({{x}_{3}}\) sunt rădăcinile ecuaţiei \({{x}^{3}}-2x+5=0\).

(5p) a) Să se calculeze determinantul \(D\);

(5p) b) Să se calculeze \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\);

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(\left| \begin{matrix} x & 2-x & x-3 \\ x-3 & x & 2-x \\ 2-x & x-3 & x \\ \end{matrix} \right|=0\).

2. Fie mulţimea \(G=\left( 4,\infty \right)\) şi operaţia algebrică \(''*''\), \(x*y=xy-4x-4y+20\), \(x,y\in G\).

(5p) a) Să se calculeze elementele simetrizabile din \(G\), în raport cu \(''*''\);

(5p) b) Să se afle \(b\in R\)pentru care \(x*b=b*x=b\), \(\forall x\in R\);

(5p) c) Să se rezove ecuaţia \({{x}^{4}}*{{4}^{4}}*4+{{4}^{x}}=5\), dacă se ştie ca  legea de compoziţie \(''*''\)este asociativă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie şirul \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), \({{a}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}+3n+1}{{{\left[ n\left( n+1 \right) \right]}^{3}}}\).

(5p) a) Să se studieze monotonia şirului \({{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), \({{b}_{n}}={{a}_{n}}+\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{3}}}\);

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\cdot {{n}^{4}}\);

(5p) c) Să se calculeze limita \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}}\).

2. Fie funcţia \({{f}_{n}}:R\to R\), \({{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{1+t{{g}^{2}}x}{1-t{{g}^{n}}x}\), \(n\in {{N}^{*}}\) şi \({{I}_{n}}=\int{{{f}_{n}}\left( x \right)}dx\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\);

(5p) b) Să se calculeze \({{I}_{2}}\);

(5p) c) Să se calculeze integrala \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{{{f}_{4}}\left( x \right)dx}\).