Varianta 57

Prof. Oláh Csaba

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă $z\in C$, $z+\frac{1}{z}=i$, să se calculeze ${{z}^{4}}+\frac{1}{{{z}^{4}}}$.

(5p) 2. Fie $f,g:R\to R$,$f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+8$ şi $g\left( x \right)=2x-6$. Să se rezolve ecuaţia $\left( f\circ g \right)\left( x \right)=0$.

(5p) 3. Să se afle valoare lui $x$din ecuaţia ${{\log }_{x-1}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{_{x+1}}}\left( x-1 \right)=2$.

(5p) 4. Să se determine $n\in {{N}^{*}}$ dacă $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}=2048$.

(5p) 5. Fie punctele $A\left( 2,3 \right)$,$B\left( 1,5 \right)$ şi $C\left( 2,7 \right)$în sistemul cartezian. Să se calculeze $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$.

(5p) 6. Să se demonstreze că $2\left( \sin a+\sin b \right)\left( \sin a-\sin b \right)=\cos 2b-\cos 2a$, $a,b\in R$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie determinantul $D=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ \end{matrix} \right|$ , unde ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$şi${{x}_{3}}$ sunt rădăcinile ecuaţiei ${{x}^{3}}-2x+5=0$.

(5p) a) Să se calculeze determinantul $D$;

(5p) b) Să se calculeze $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}$;

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia $\left| \begin{matrix} x & 2-x & x-3 \\ x-3 & x & 2-x \\ 2-x & x-3 & x \\ \end{matrix} \right|=0$.

2. Fie mulţimea $G=\left( 4,\infty \right)$ şi operaţia algebrică $''*''$, $x*y=xy-4x-4y+20$, $x,y\in G$.

(5p) a) Să se calculeze elementele simetrizabile din $G$, în raport cu $''*''$;

(5p) b) Să se afle $b\in R$pentru care $x*b=b*x=b$, $\forall x\in R$;

(5p) c) Să se rezove ecuaţia ${{x}^{4}}*{{4}^{4}}*4+{{4}^{x}}=5$, dacă se ştie ca  legea de compoziţie $''*''$este asociativă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie şirul ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$, ${{a}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}+3n+1}{{{\left[ n\left( n+1 \right) \right]}^{3}}}$.

(5p) a) Să se studieze monotonia şirului ${{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$, ${{b}_{n}}={{a}_{n}}+\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{3}}}$;

(5p) b) Să se calculeze $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\cdot {{n}^{4}}$;

(5p) c) Să se calculeze limita $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}}$.

2. Fie funcţia ${{f}_{n}}:R\to R$, ${{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{1+t{{g}^{2}}x}{1-t{{g}^{n}}x}$, $n\in {{N}^{*}}$ şi ${{I}_{n}}=\int{{{f}_{n}}\left( x \right)}dx$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{1}}$;

(5p) b) Să se calculeze ${{I}_{2}}$;

(5p) c) Să se calculeze integrala $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{{{f}_{4}}\left( x \right)dx}$.