Varianta 65

Prof: Pisică Lăcrămioara

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze suma primilor patru termeni ai unei progresii geometrice dacă \({{a}_{3}}=3\) și \({{a}_{4}}=-2\).

(5p) 2. Să se determine inversa funcției bijective \(f:\mathbb{R}\to \left( -1,\infty  \right)\) , \(f(x)={{\log }_{2}}\left( {{3}^{x}}+1 \right)-1\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuația \(\frac{\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}}=\frac{1}{5}\)  în mulțimea numerelor reale

(5p) 4. Câte submulțimi de trei elemente ale mulțimii \(\left\{ 0,1,2,...,9 \right\}\) conțin un singur element impar ?

(5p) 5. Se dau punctele \(A\left( 1,2 \right)\) și \(B\left( 2,1 \right)\). Să se determine coordonatele punctului C știind că aparține axei ordonatelor iar aria triunghiului ABC este egală cu 1 .

(5p) 6. Dacă \(a,b\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) , \(tga=\frac{1}{7}\) , \(tgb=\frac{1}{3}\) demonstrați că  \(a+2b=45{}^\circ \)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele \(A=\left( \begin{matrix} 6 & 6 \\ 3 & 3 \\ \end{matrix} \right)\) și \(X=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\) , \(A,X\in {{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\)

(5p) a) Arătați că \({{X}^{2}}-\left( a+d \right)X+\left( ad-bc \right){{I}_{2}}={{O}_{2}}\) , \(\forall X\in {{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\) .

(5p) b) Determinați matricele \(X\in {{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\) ce îndeplinesc simultan condițiile \(AX=XA\) și \(\det \left( X \right)=0\)

(5p) c) Rezolvați ecuația \({{X}^{4}}=A\) în \({{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\) .

2. Fie polinomul \(f={{X}^{4}}+\left( 2-m \right){{X}^{3}}+\left( 3-m \right){{X}^{2}}-2\left( 1+m \right)X+4\left( m-1 \right)\) , \(f\in \mathbb{C}\left[ X \right]\) , \(m\in \mathbb{C}\) .

(5p) a) Arătați că f este divizibil cu \(X-1\) pentru orice \(m\in \mathbb{C}\) ,

(5p) b) Pentru \(m=2-i\) determinați partea imaginară a numărului \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}\) .

(5p) c) Determinați \(m\in \mathbb{C}\) știind că f admite ca rădăcină pe \(1-i\) și apoi rezolvați ecuația \(f(x)=0\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+x\) .

(5p) a) Arătați că f este injectiva dar un este surjectivă .

(5p) b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul în care acesta intersectează axa absciselor .

(5p) c) Determinați asimptotele la graficul funcției f .

2. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)={{x}^{2}}-4x+3\) .

(5p) a)  Calculați  \(\int\limits_{0}^{1}{f(x+2)\cdot {{e}^{x}}dx}\)

(5p) b) Determinați aria suprafeței delimitate de graficul funcției  \(g:\left[ 0,2 \right]\to \mathbb{R}\) , \(g(x)=\frac{f(x+2)}{x+1}\cdot {{e}^{{{x}^{2}}-2x+1}}\)  și axa Ox

(5p) c) Demonstrați că x\(\int\limits_{1}^{3}{{{\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)}^{n}}dx}=2\cdot \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{n}}dx}\)  , \(\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).