Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi \(x\in \mathbb{Z}\)pentru care \(\left| \frac{x+3}{2} \right|\le 1\).

(5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic conţine punctul \(A\left( 0,0 \right)\) iar vârful parabolei este punctul\(V\left( 2,-4 \right)\).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia  \(\sqrt{2x+5}=x+3\).

(5p) 4. Calculaţi \(3C_{4}^{2}+5A_{5}^{2}\).

(5p) 5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}=3\overrightarrow{i}+a\overrightarrow{j}\) şi \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\left( a-1 \right)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\), unde \(a\in \mathbb{R}\). Determinaţi numărul \(a>0\)pentru care vectorii \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}\)şi \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}\)sunt coliniari.

(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC, ştiind că  \(AB=8\),\(BC=12\),\(AC=10\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)\).

(5p) a) Să se afle numărul \(\det \left( A-2{{I}_{3}} \right)\).

(5p) b) Să se determine rangul matricei \(A\).

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(A\cdot X={{I}_{3}},\text{ }X\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\).

2. Se consideră legea de compoziţie „\(*\)” definită prin \(x*y=x+y-6,\text{ }\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Să se arate că \(e=6\)este elementul neutru al legii de compoziţie „\(*\)” pe mulţimea \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuaţia \(\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)*\left( 2{{x}^{2}}-x+6 \right)\ge 0\).

(5p) c) Să se demonstreze că  \(\frac{1}{2}*\frac{1}{{{2}^{2}}}*\cdots \cdots \cdots *\frac{1}{{{2}^{7}}}<0\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\) \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x-2}{x-3},\text{ }x\le 0 \\ \frac{x+2}{x+3},\text{ }x>0 \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) a) Verificaţi dacă funcţia este continuă în punctul \({{x}_{0}}=0\).

(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei \(f\) .

(5p) c) Arătaţi că \(f\left( x \right)\in \left[ \frac{2}{3},1 \right)\), oricare ar fi \(x\in \mathbb{R}\).

2. Se consideră funcţiile, \({{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},{{f}_{n}}(x)=4{{n}^{2}}{{x}^{2}}+8nx+16,\text{unde }n\in \mathbb{N}\)

(5p) a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei \({{f}_{1}}\).

(5p) b) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei \({{f}_{1}}\), axa \(Ox\)şi dreptele de ecuaţii \(x=0\)şi \(x=1\).

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{f}_{2}}\left( x \right)-16}{x}\cdot {{e}^{x}}dx}\).$$